Noter til Geometri - Aarhus Universitet

8.2. Egenskaber ved flader og glatte afbildninger 55
Eksempel 8.23 (Omdrejningsflade). I (x, z)-planen betragtes en regulær parametriseret
kurve α: (a, b) → R 3
α(v) = f(v), 0, g(v) , v ∈ (a, b).
Dvs. f ′ (v), g ′ (v) = (0, 0) ∀v ∈ (a, b). Lad C = α(a, b) og antag
(i) α: (a, b) → R 2 (= R × {0} × R) er injektiv,
(ii) f(v) > 0 for alle v ∈ (a, b),
(iii) α: (a, b) → C er en homeomorfi.
Sæt
S = (x, y, z) ∈ R 3 x 2 + y 2 , 0, z ∈ C .
Proposition 8.24. S er en regulær flade som er rotations-invariant.
Bevis. Det ses let at Rθ(S) = S for alle θ ∈ R, så vi skal blot vise at S er en regulær
flade. Lad os vise at U ′ = S ∩ {(x, y, z) | y > 0} er en regulær flade idet det er
analogt for S ∩ {(x, y, z) | y < 0}, S ∩ {(x, y, z) | x > 0 og S ∩ {(x, y, z) | x < 0}.
Sæt U = (−1, 1) × (a, b) ⊆ R 2 og definer x: U → U ′ ved
x(u, v) = uf(v), f(v) √ 1 − u 2 , g(v) , (u, v) ∈ U.
Så er x klart C ∞ og bijektiv med x −1 : U ′ → U givet ved x −1 (x, y, z) = (u, v), hvor
v = α −1 x 2 + y 2 , 0, z) og u = x
v
= x
α −1 x 2 + y 2 , 0, z
for (x, y, z) ∈ U ′ . Da α−1 : C → (a, b) er kontinuert er x−1 : U ′ → U kontinuert.
Endelig er Jacobi-matricen for x:
⎛
f(v) uf
⎜
Dx(u,v) = ⎜
⎝
′ (v)
√ −uf(v)
√
1−u2 1 − u2 ′ f (v)
0 g ′ ⎞
⎟
⎠
(v)
som let ses at have rang 2 ifølge forudsætningerne på α. Dvs. at (U, x) er et lokalt
koordinatsystem så S er en regulær flade.