Noter til Geometri - Aarhus Universitet

7 Den inverse funktions sætning
I denne paragraf vender vi tilbage til differentiabilitet for funktioner F : U → R m ,
hvor U er en åben delmængde af R n . En sådan funktion består af m koordinatfunktioner
F(x) = (F1(x), . . . , Fm(x)), x = (x1, . . .,xn).
Vi siger, at F er af klasse C1 , hvis enhver koordinatfunktion Fν(x) er kontinuert
differentiabel, dvs. at ∂Fν
∂Fν
(u) eksisterer for alle u ∈ U, og at : U → R er
∂xi ∂xi
kontinuert. Hvis disse n·m funktioner har klasse C1 , siges F at have klasse C2 o.s.v.
Definition 7.1. Lad U ⊆ R n være åben. En afbildning
F : U → R m
har klasse Ck (1 ≤ k ≤ ∞), hvis Fν har kontinuerte partielle afledede af alle
ordener ≤ k. Hvis k = ∞, siges F at være glat (eller i [dC], differentiabel).
For et punkt u ∈ U defineres Jacobimatricen i punktet u:
DFu =
⎛
⎜
⎝
∂F1
∂x1
∂Fm
∂x1
(u) . . .
.
. ..
(u) . . .
∂F1
∂xn (u)
.
∂Fm
∂xn (u)
Det er en m × n matrix og giver en lineær afbildning
dFu : R n → R m ,
som vi kalder differentialet af F i punktet u.
Hvis U ⊆ R n og V ⊆ R m er åbne mængder, og vi har funktioner
F : U → R m , G : V → R l
med F(U) ⊆ V , så kan vi danne den sammensatte funktion
Dens j’te koordinatfunktion er
G ◦ F : U → R l
⎞
(G ◦ F)j(x) = Gj(F1(x), . . .,Fm(x)).
⎟
⎠ (7.1)
Det er velkendt fra Matematisk Analyse 1, se f.eks. Sætning 9.36 i [ETP], hvordan
man udregner de partielle afledede af (G ◦ F)j, nemlig
∂(G ◦ F)j
(u) =
∂xi
m ∂Gj
k=1
∂xk
(F(u)) ∂Fk
(u) (7.2)
∂xi
Vi ser, at G ◦ F har klasse C1 , hvis både G og F har klasse C1 . Men (7.2) giver
også, at G ◦ F har klasse C2 , hvis F og G har klasse C2 . Man differentierer (7.2)
m.h.t. x, og bemærker at ∂
af højre side bliver kontinuert. Induktivt ser vi, at hvis
∂x
F og G har klasse Ck , så gælder det samme for G ◦ F.
39