Noter til Geometri - Aarhus Universitet

28 5. Topologiske rum
og lad π : Y → B, der kaldes den kanoniske projektion, være givet ved π(y) = [y].
Dette er en surjektiv afbildning.
Omvendt definerer en surjektiv afbildning π : Y → B en ækvivalensrelation på
Y ved
y1 ∼ y2 ⇐⇒ π(y1) = π(y2),
og B = Y/ ∼. Der henvises til [L], §2.2 for en mere detaljeret gennemgang af
ækvivalensrelationer.
Eksempel 5.14. Mængden af ækvivalensklasser R n /∼ af ækvivalensrelationen defineret
i Eksempel 5.13 betegnes R n /Z n . Dette bliver en abelsk gruppe ved at definere
Den kanoniske projektion
[x] + [y] = [x + y], −[x] = [−x], 0 = [0],
π : R n → R n /Z n
er en homomorfi af abelske grupper med π −1 (0) = [0] = Z n . For n = 1 har vi
π : R → R/Z, og vi giver R/Z kvotienttopologien. Enhedscirklen er en delmængde
S 1 af R 2 . Vi giver den sportopologien, og lader i : S 1 → R 2 være inklusionen. Betragt
nu
e : R → S 1 ; e(t) = (cos(2πt), sin(2πt)).
Denne er kontinuert ifølge Lemma 5.10, da i ◦ e er kontinuert, og den er surjektiv.
Da e er periodisk,
e(t + n) = e(t) ⇐⇒ n ∈ Z,
kan vi definere en afbildning e : R/Z → S 1 ved e([x]) = e(x). Der gælder, at
e ◦ π = e, og e er en bijektion og en homomorfi af grupper, hvor gruppestrukturen
på S 1 induceres af multiplikationen i C = R 2 . Det følger fra Lemma 5.12, at e
er kontinuert. Vi skal se i næste paragraf, at den inverse afbildning e −1 også er
kontinuert (sml. [L], Eksempel 3.4.5).
Vi vil nu definere den såkaldte produkttopologi på det Cartesiske produkt af to
topologiske rum. Vi har brug for:
Definition 5.15. Lad X være en mængde. En familie af delmængder B ⊆ P(X)
kaldes en basis for X, såfremt
(i) For B1, B2 ∈ B og x ∈ B1 ∩ B2, findes der B ∈ B så x ∈ B ⊂ B1 ∩ B2
(ii)
B∈B B = X.
Lemma 5.16. Lad B være en basis for en mængde X. Så udgør ∅ samt alle mængder
af formen
α∈I Bα, Bα ∈ B en topologi T på X. Dette kaldes topologien induceret
fra B.