Noter til Geometri - Aarhus Universitet

14 3. Eksistens- og entydighedssætningen for 1. ordens differentialligninger
delmængde af C(K, R n ). Vi bruger Lemma 2.2 og antager at {xk} er en følge af
elementer i C(K, D0), som konvergerer mod x ∈ C(K, R n ),
x − xk∞ → 0 for k → ∞
Da |x(t) − xk(t)| ≤ x − xk∞ for ethvert t ∈ K, ser vi, at
xk(t) → x(t) for k → ∞
Da xk(t) ∈ D0 og D0 ⊆ R n er lukket, følger at x(t) ∈ D0. Dette gælder for ethvert
t ∈ K, så x ∈ C(K, D0) og C(K, D0) er lukket i C(K, R n ), og dermed fuldstændigt.
En anvendelse af Sætning 2.6 fortæller, at der findes et x ∈ C(K, D0) med
Tx = x. Ifølge (3.5) har vi derfor for dette x ligningen
x(t) = x0 +
t
t0
f(x(s), s) ds; t ∈ K. (3.10)
Højre side i (3.10) er en stamfunktion til funktionen g(t) = f(x(t), t), så ved differentiation
fås
x ′ (t) = f(x(t), t). (3.11)
Dermed er x(t) en løsning til differentialligningen defineret på intervallet K, og vi
har bevist den lokale eksistenssætning.
(ii) Global entydighed: Vi antager, at vi har givet to differentiable funktioner
x1, x2 ∈ C(I, U), som begge løser differentialligningen:
x ′ 1 (t) = f(x1(t), t)
x ′ 2(t) = f(x2(t), t), t ∈ I.
(3.12)
Vi antager at x1(t0) = x2(t0) = x0, og skal vise, at x1(t) = x2(t) for alle t ∈ I. Først
viser vi, at x1(t) og x2(t) stemmer overens i en omegn af t0 ∈ I.
Vi vælger D0 og K som i beviset for eksistenssætningen, således at
T : C(K, D0) → C(K, D0)
er en kontraktion. Da x1(t0) = x2(t0) ∈ D0 og x1, x2 : K → U er kontinuerte, findes
der et delinterval t0 ∈ K0 ⊆ K, så
x1(K0) ⊆ D0, x2(K0) ⊆ D0,
og dermed x1, x2 ∈ C(K0, D0). Fra (3.12) fås ved integration
x1(t) = x0 +
x2(t) = x0 +
t
t0
t
t0
f(x1(s), s) ds
f(x2(s), s) ds, t ∈ K0.