Noter til Geometri - Aarhus Universitet

B.2. Indre produkt O
B.2 Indre produkt
Et 2-dimensionalt underrum V ⊆ R 3 arver et indre produkt 〈 , 〉 fra dot-produktet
i R 3 . For v ∈ V og w ∈ V sættes
〈v, w〉 = v1w1 + v2w2 + v3w3
(B.7)
hvor v = (v1, v2, v3) og w = (w1, w2, w3). Dette er et indre produkt på V , se F.
Beauregard side 230–235 og side 326–357. Specielt gælder Cauchy-Schwartz uligheden
|〈v, w〉| ≤ vw, (B.8)
hvor v er længden af v givet ved v2 = 〈v, v〉. Vinklen 0 ≤ θ ≤ π mellem v og w
defineres ved ligningen
〈v, w〉
cosθ = . (B.9)
vw
En ortonormal basis for (V, 〈 , 〉) består af vektorer e1, e2 ∈ V således at
〈e1, e2〉 = 1, 〈e1, e2〉 = 0, 〈e2, e2〉 = 1. (B.10)
En lineær afbildning f : V → V kaldes selvadjungeret hvis der gælder
〈f(v), w〉 = 〈v, f(w)〉 (B.11)
for ethvert par af vektorer v, w ∈ V . Vi udregner matricen for f med hensyn til en
ortonormal basis {e1, e2}:
Det følger fra (B.10), at
f(e1) = λ11e1 + λ21e2, f(e2) = λ12e1 + λ22e2.
〈f(e1), e2〉 = λ21, 〈e1, f(e2)〉 = λ12,
således at f er selvadjungeret hvis og kun hvis matricen for f mht. en ortonormal
basis er symmetrisk (λ12 = λ21). Det understreges, at matricen for en selvadjungeret
matrix ikke behøver at være symmetrisk med mindre basen er ortonormal.
Sætning B.1. Vektorrummet V har en ortonormal basis.
Bevis. Vælg en vektor e1 ∈ V med e1 = 1. Lad L = {v ∈ V | 〈v, e1〉 = 0} være
det ortogonale komplement. Dette er et underrum af V . Da V er 2-dimensionalt
findes et b2 ∈ V så at {e1, b2} er en basis for V . Så er
e ′ 2 = b2 − 〈b2, e1〉e1 ∈ L.
Dette er ikke nulvektoren, da e1 og b2 er lineært uafhængige, og vi kan derfor definere
e2 = 1
e ′ 2 e′ 2 .
Så er {e1, e2} en ortonormal basis for V .