Noter til Geometri - Aarhus Universitet

1. Metriske rum 3
Beviset for (1.4), som skulle være kendt fra Mat 10, er som følger. Fra (i) og (ii) ser
vi, at
〈w, w〉t 2 + 2〈v, w〉t + 〈v, v〉 = 〈v + tw, v + tw〉 ≥ 0
Funktionen At 2 +2Bt+C har minimum i punktet t = −B/A med værdien B 2 /A −
2B 2 /A + C ≥ 0. Dette giver B 2 ≤ AC, som medfører (1.4).
Et vektorrum med indre produkt bliver et normeret vektorrum med normen
N(v) = 〈v, v〉 1/2 .
Trekantsuligheden for N følger fra Cauchy-Schwarz’ ulighed.
Et normeret vektorrum (V, N) er et metrisk rum med afstandsfunktionen
dN : V × V → R , dN(v, w) = N(v − w)
Eksempel 1.4. Den Euklidiske norm | · | på R n med tilhørende afstandsfunktion d
fra (1.1) kommer fra det sædvanlige indre produkt på R n ,
Her er to andre normer på R n :
〈x, y〉 = x · y = xiyi.
|x|∞ = max{ |xi| | i = 1, . . ., n}
|x|1 = |x1| + . . . + |xn| , x = (x1, . . .,xn).
Eksempel 1.5. Lad K = [a, b] være et lukket interval på den reelle akse. Det
uendeligt dimensionale vektorrum C(K, Rm ) af kontinuerte funktioner fra K ind i
Rm har et indre produkt:
〈〈f, g〉〉2 = f(t) · g(t) dt
og en tilhørende norm, som ofte kaldes L 2 -normen,
K
f2 = 〈〈f, f〉〉 1/2
2 . (1.5)
For vores senere anvendelser er det dog en anden norm, som vil blive brugt, nemlig
den såkaldte supremumsnorm:
f∞ = sup{ |f(t)| | t ∈ K}. (1.6)
Vi minder om, at en følge {fn} i C(K, R m ) kaldes uniformt konvergent med grænseværdi
f : K → R m , hvis
og at f nødvendigvis bliver kontinuert.
f − fn∞ → 0 for n → ∞