Noter til Geometri - Aarhus Universitet

9. Opgaver C
5.3. Lad (X, d) være et metrisk rum, og x1 = x2 to forskellige punkter i X. Vis,
at der findes åbne mængder U1, U2 ∈ Td, så x1 ∈ U1, x2 ∈ U2 og U1 ∩ U2 = ∅
(Man kan vælge U1 og U2 til at være åbne kugler).
Vis, at der findes topologiske rum, som ikke opfylder denne betingelse.
5.4. En afbildning mellem topologiske rum X = (X, TX) og Y = (Y, TY ), f : X →
Y kaldes kontinuert i punktet x ∈ X, såfremt f −1 (V ) er en omegn af x for
enhver omegn V af f(x). Vis at dette stemmer overens med (1.8), hvis X og
Y er metriske rum med de tilhørende topologier fra opgave 5.1.
Vis, at en afbildning f : X → Y er kontinuert, hvis og kun hvis den er
kontinuert i alle sine punkter.
5.5. Lad (R n , d) være den Euklidiske metrik. Find ∂Bd(x, r), int Bd(x, r) og Bd(x, r).
Samme spørgsmål for Bd(x, r), se (1.7).
5.6. Vis, at TX i (5.5) er en topologi, og at det er den groveste topologi, hvor f
bliver kontinuert.
Vis, at TY i (5.6) er en topologi og den fineste, hvor f er kontinuert.
5.7. Bevis Lemma 5.12
5.8. Vis, at de åbne kugler Bd(x, r) i et metrisk rum (X, d) udgør en basis for Td.
5.9. Vis, at B = {B(x, ε) | x ∈ Q n , ε ∈ Q, ε > 0} udgør en basis for den Euklidiske
topologi på R n .
5.10. Lad (X1, d1) og (X2, d2) være metriske rum. Vi definerer en metrik på X1 ×X2
ved
d((x1, x2), (y1, y2)) = max(d1(x1, y1), d2(x2, y2))
Vis, at (X1 × X2, Td) er produkttopologien.
5.11. Lad X og Y være topologiske rum, f : X → Y en afbildning, og antag at
X = X1 ∪ X2 for to delmængder X1 og X2 af X.
a) Antag, at X1 og X2 er åbne delmængder af X. Vis, at f er kontinuert,
hvis og kun hvis f|X1 og f|X2 er kontinuerte m.h.t. sportopologierne for
X1 og X2.
b) Antag, at X1 og X2 er lukkede delmængder af X. Vis, at f er kontinuert,
hvis og kun hvis f|X1 og f|X2 er kontinuerte i sportopologierne.
5.12. Lad X være et topologisk rum og A ⊆ X en delmængde.
a) Vis, at x ∈ A, hvis og kun hvis enhver omegn af x i X indeholder punkter
fra A; i såfald kaldes x et berøringspunkt.
b) Vis, at hvis x ∈ A, så gælder enten (i) eller (ii):
(i) at x er et berøringspunkt for A − {x}