Noter til Geometri - Aarhus Universitet

D 9. Opgaver
(ii) at der findes en omegn U af x, så U ∩ A = {x}.
I tilfælde (i) kaldes X et fortætningspunkt for A, og i tilfælde (ii) kaldes
x et isoleret punkt i A.
5.13. Lad X1, X2 og X3 være topologiske rum. Vi kan anvende Definition 5.18 (to
gange) til at definere en topologi T på (X1×X2)×X3. Vi kan ligeledes definere
en topologi T ′ på X1 × (X2 × X3). Vis, at T = T ′ .
5.14. Bevis Proposition 5.21
5.15. Vis, at de eneste sammenhængende delmængder af R er intervaller.
5.16. Lad X være et topologisk rum.
(a) Vis, at der defineres en ækvivalensrelation i X ved fastsættelsen: x ∼
y, hvis og kun hvis der findes en sammenhængende delmængde, som
indeholder både x og y. Ækvivalensklasserne for denne relation kaldes
sammenhængskomponenterne i X.
(b) Vis, at en sammenhængskomponent er en lukket delmængde
(c) Vis, at hvis alle sammenhængskomponenter er åbne, så er X homeomorf
med den topologiske sum af disse.
(d) Vis, at hvis X har højst endeligt mange sammenhængskomponenter, så
er disse alle åbne.
(e) Find sammenhængskomponenterne i eksempel 5.23, og afgør, om de er
åbne.
5.17. Lad X være et topologisk rum og lad {Aα | α ∈ I} være en familie af sammenhængende
delmængder, for hvilke der gælder: For alle α, α ′ ∈ I findes en
endelig følge α = α1, . . .,αk = α ′ , så Aαi ∩ Aαi+1 = ∅ for i = 1, . . ., k − 1. Vis,
at A =
α∈I Aα er sammenhængende.
5.18. Vis Bolzano-Weierstrass’ sætning. Lad X være et sammenhængende rum og
f : X → R en kontinuert funktion. Vis, at hvis a, b ∈ f(X) og a < c < b, så er
også c ∈ f(X).
5.19. Vis, at produktet af to sammenhængende rum igen er sammenhængende.
5.20. Vis at mængderne i eksempel 5.26 er sammenhængende.
5.21. Vis, at den n-dimensionale kugleskal S n er sammenhængende for n ≥ 1.
5.22. (a) Vis, at en åben, sammenhængende delmængde af R n er kurvesammehængende.
(b) Vis, at en åben delmængde af R n er en foreningsmængde af disjunkte,
sammenhængende, åbne delmængder.
5.23. Vis, at S 1 og S 2 ikke er homeomorfe. (Vink: Fjern to punkter.)