Noter til Geometri - Aarhus Universitet

8 Regulære flader i R 3
Vi skal betragte særligt pæne delmængder S ⊆ R 3 kaldet flader. I det følgende
opfattes S som et topologisk rum i sportopologien, se Definition 5.9. En åben omegn
U ′ af p ∈ S er således en mængde af formen U ′ = V ′ ∩ S, hvor V ′ er en åben omegn
af p i R 3 .
Definition 8.1. En delmængde S ⊆ R 3 kaldes en regulær flade, hvis der til ethvert
p ∈ S findes en åben omegn p ∈ U ′ ⊆ S af p i S og en åben mængde U ⊆ R 2 samt
en bijektion
x: U → U ′
som opfylder:
(i) x er differentiabel (C ∞ ),
(ii) x er en homeomorfi,
(iii) for ethvert q ∈ U er differentialet dxq : R 2 → R 3 en injektiv afbildning.
Funktionen x: U → U ′ kaldes en lokal parametrisering af S, parret (U, x) kaldes
et lokalt koordinatsystem og U ′ = x(U) en koordinatomegn eller kortomegn på S.
x −1 : U ′ → U kaldes et kort på S.
Bemærkning 8.2. (1) Betingelsen (ii) betyder at en delmængde U ′ 1 ⊆ U ′ er åben
(i sportopologien), hvis og kun hvis U1 = x −1 (U ′ 1 ) er åben i R2 . En måde at
sikre dette på er at forlange (som do Carmo gør) at x −1 : U ′ → U kan udvides
til en kontinuert afbildning defineret på den åbne mængde V i R 3 .
(2) Betingelsen (iii) er for ethvert q ∈ U ækvivalent med en af følgende betingelser
(iii)’ Matricen
har rang 2.
(iii)’’ Vektorerne ∂x
∂u
(iii)’’’ Vektorproduktet ∂x
∂u
⎛
∂x
∂u (q) ∂x
∂v (q)
⎞
⎜
Dxq = ⎜ ∂y
⎝∂u
(q)
∂y
∂v (q)
∂z
∂u (q) ∂z
∂v (q)
⎟
⎠
∂x (q), (q) er lineært uafhængige.
∂v
(q) ∧ ∂x
∂v
(q) er forskellig fra nul.
I disse formler er x(u, v) = x(u, v), y(u, v), z(u, v) for (u, v) ∈ U ⊆ R2 , og
∂x ∂x
(q) hhv. (q) betegner tangenterne til de respektive kurver u ↦→ x(u, v0)
∂u ∂v
hhv. v ↦→ x(u0, v) gennem punktet x(q) = x(u0, v0).
(3) Af definition 8.1 følger at S er overdækket af koordinatomegne U ′ α = xα(Uα),
α ∈ A,
S =
xα(Uα)
α∈A
da ethvert punkt af S er indeholdt i en sådan.
45