Noter til Geometri - Aarhus Universitet

N B. Nogle begreber fra lineær algebra i 2 dimensioner
F opfattet som et element af Mat2(R) kaldes matricen for f m.h.t. baserne B og C.
Hvis B1 og C1 er andre baser for henholdsvis V og W, så har vi diagrammet
R 2
ˆB1
V
T R 2
ˆB
f
F
W
Ĉ
R 2
T ′
Ĉ1 , (B.3)
hvor de to trekanter og firkanten er kommutative. Da det ydre diagram også må
være kommutativt, ser vi at matricen for f m.h.t baserne B1 og C1 er
R 2
(T ′ ) −1 FT ∈ Mat2(R). (B.4)
Et vigtigt specialtilfælde af ovenstående er V = W og B = C, hvor F i (B.2) giver
matricen for f : V → V m.h.t. basen B. Hvis B1 er en anden basis for V , så ser vi
fra (B.4), at matricen for f mht. basen B1 er
T −1 FT ∈ Mat2(R)
hvor T er overgangsmatricen som gør diagrammet
kommutativt.
Da det(AB) = det A det B og tr(AB) = tr(BA), er
R 2
ˆB1
V
T
ˆB
R 2
det(T −1 FT) = det(F) og tr(T −1 FT) = tr(F)
hvor det og tr betegner henholdsvis determinant og spor af de pågældende 2 × 2matricer.
Vi kan derfor til enhver lineær afbildning f : V → V af et 2-dimensionalt
underrum definere to reelle tal
det(f) ∈ R og tr(f) ∈ R (B.5)
ved at vælge en basis B = {b1, b2} for V og udregne determinant og spor for matricen
svarende til F : R 2 → R 2 . Hvis
så er
f(b1) = λ11b1 + λ21b2, f(b2) = λ12b1 + λ22b2,
det(f) = λ11λ22 − λ12λ21, tr(f) = λ11 + λ22 (B.6)
og disse tal afhænger ikke af valg af basen B.