Noter til Geometri - Aarhus Universitet

44 7. Den inverse funktions sætning
Da vi har antaget |Φ(x, x0)| < 1
2 er matricen I −Φ(x, x0) invertibel med invers givet
ved den uniformt konvergente række ∞ i=0 Φ(x, x0) i , hvis grænsefunktion således er
kontinuert som funktion af x og x0 i U. Det vil sige
G(y) − G(y0) = x − x0 = I − Φ(x, x0) −1 (y − y0)
= I − Φ(G(y), G(y0)) −1 (y − y0).
Det følger således af definitionen på differentiabilitet at G er differentiabel i y0 og
at
DGy0 = I − Φ(G(y0), G(y0)) −1 = −1 I − DHx0 = (DFx0) −1 = (DFG(y0)) −1 .
Dette viser, at afbildningen DG : V → Mn(R) er givet som sammensætningen
DG : V
G
−−−−→ W DF
−−−−−→ GLn(R)
( · ) −1
−−−−−−→ GLn(R). (7.4)
Matrixinvertering er C ∞ , og DF er kontinuert, så (7.4) medfører, at G er C 1 .
Addendum 7.6. Hvis vi i Sætning 7.4 antager, at F har klasse C k , så har (F|W) −1
også klasse C k .
Bevis. Lad G = (F|W) −1 : V → W. Vi ved fra Sætning 7.4, at G har klasse C 1 , og
viser induktivt, at den har klasse C k . Da F ◦ G = IdV fortæller kædereglen, at
DFG(v) ◦ DGv = Id,
og dermed, at DGv = (DFG(v)) −1 .
Antag induktivt, at G har klasse Cl , 1 ≤ l < k. Indgangene i DFG(v) har formen
∂Fj
∂Fj
(G(v)). Da l < k, er ∂xi ∂xi af klasse Cl , og da sammensætning af Cl-afbildninger igen er en Cl-afbildning, er indgangene i DFG(v) Cl-afbildninger. Det følger fra (7.4), at DG har klasse Cl , og dermed, at G har klasse Cl+1 . Ved
induktion ses, at G har klasse Ck .
Definition 7.7. En afbildning F : W → V mellem åbne mængder V, W ⊆ R n
kaldes en diffeomorfi, hvis F er bijektiv, og både F og F −1 har klasse C ∞ .
Med denne sprogbrug siger addendum 7.6, at hvis F har klasse C ∞ og DFu0 er
invertibel, så er F en lokal diffeomorfi.