Noter til Geometri - Aarhus Universitet

8.2. Egenskaber ved flader og glatte afbildninger 53
Bevis. Lad W ′ = U ′ ∩ V ′ . Så er h = y −1 ◦ x: x −1 (W ′ ) → y −1 (W ′ ) en diffeomorfi.
Så hvis f ◦ x er C ∞ i en omegn Ω af x −1 (p) er
f ◦ y = f ◦ x ◦ x −1 ◦ y = f ◦ x ◦ h −1
C ∞ i omegnen h(Ω) af h x −1 (p) = y −1 (p). Det omvendt følger ved symmetri.
Definition 8.17. (i) En afbildning f : S → R n kaldes C ∞ i en omegn af p ∈ S
hvis der findes et koordinatsystem x: U → U ′ ⊆ S så f ◦ x er C ∞ i en omegn
af x −1 (p).
(ii) f : S → R n kaldes C ∞ hvis f er C ∞ i en omegn af p for alle p ∈ S.
Bemærkning 8.18. Det følger af Korollar 8.16 at hvis f : S → R n er C ∞ så er
f ◦ x: U → R n C ∞ for ethvert koordinatsystem (U, x).
Eksempel 8.19. Lad S være en regulær flade, S ⊆ V , V ⊆ R 3 en åben delmængde
og lad f : V → R n være en C ∞ afbildning. Så er f|S : S → R n en C ∞ afbildning.
Special tilfælde er følgende:
(1) Højdefunktionen: Lad v ∈ R 3 , |v| = 1, og definer h: S → R ved
h(p) = v · p, p ∈ S,
hvor · betegner sædvanligt indre produkt i R 3 . Her er h klart restriktionen af
en C ∞ funktion på hele R 3 .
(2) Afstandsfunktionen ‘i anden’: Lad p0 ∈ S og sæt
f(p) = |p − p0| 2 = (p − p0) · (p − p0), p ∈ S.
Så er igen f restriktionen af en C ∞ funktion på hele R 3 .
Vi har altså set at en afbildning fra (en åben delmængde i) R n til en flade S eller
fra fladen S til R n er C ∞ hvis og kun hvis sammensætningen med lokale parametriseringer
giver C ∞ afbildninger. Vi vil definere differentiabilitet for afbildninger
mellem flader på en analog måde:
Lad S1, S2 ⊆ R 3 være regulære flader og antag at ϕ: S1 → S2 er en kontinuert
afbildning mth. sportopologien på S1 og S2. For et punkt p ∈ S1 kan vi finde
koordinatsystemer x1: U1 → U ′ 1 ⊆ S1 og x2: U2 → U ′ 2 ⊆ S2 med p ∈ U ′ 1 og
ϕ(U ′ 1 ) ⊆ U ′ 2 og vi definerer nu:
Definition 8.20. (i) En kontinuert afbildning ϕ: S1 → S2 kaldes C∞ i en omegn
af p ∈ S1 hvis der findes koordinatsystemer som ovenfor så afbildningen x −1
2 ◦
ϕ ◦ x1: U1 → U2 er C∞ i en omegn af x −1
1 (p).
(ii) En kontinuert afbildning ϕ: S1 → S2 kaldes C ∞ hvis den er C ∞ i en omegn af
p for alle p ∈ S1.
(iii) En bijektion ϕ: S1 → S2 kaldes en diffeomorfi hvis både ϕ og ϕ −1 er C ∞
afbildninger.