Noter til Geometri - Aarhus Universitet

P B. Nogle begreber fra lineær algebra i 2 dimensioner
Sætning B.2. Lad f : V → V være en selvadjungeret lineær afbildning. Så findes
en ortonormal basis {e1, e2} for V som består af egenvektorer for f,
f(e1) = λ1e1, f(e2) = λ2e2.
Bevis. Vi vælger en vilkårlig ortonormal basis {b1, b2} for V . Lad
f(b1) = λ11b1 + λ21b2, f(b2) = λ12b1 + λ22b2 (B.12)
med λ12 = λ21. Matricen for f er den symmetriske matrix
λ11 λ12
Λ = .
λ21 λ22
Nu ved vi fra Sætning 6.8 i F. Beauregard, side 354 at der findes en ortogonal matrix
C (CT C = I), så
C −1
λ1 0 c11 c12
ΛC = , C = .
Vi påstår, at
0 λ2
c21 c22
e1 = c11b1 + c21b2, e2 = c12b1 + c22b2 (B.13)
er en ortonormal basis for f bestående af egenvektorer med egenværdier λ1 og λ2.
Da {b1, b2} er en ortonormal basis giver en let udregning, at
〈e1, e2〉 = c 2 11 + c221 = 1
〈e1, e2〉 = c12c11 + c21c22 = 0
〈e2, e2〉 = c 2 12 + c 2 22 = 1,
hvor de højre lighedstegn kommer fra ligningen C T C = I, der udtrykker at C er
ortogonal.
Vi udregner under brug af (B.12) og (B.13):
f(e1) = c11f(b1) + c21f(b2)
= (c11λ11 + c21λ12)b1 + (c11λ21 + c21λ22)b2
= (λ1c11b1 + λ1c21b2)
hvor det sidste lighedstegn følger fra ligningen
λ1 0
ΛC = C
0 λ2
ved at udregne begge siders 1. søjle. Tilsvarende vises, at f(e2) = λ2e2.
Bemærkning B.3. I den ortonormale basis {e1, e2} kan enhver vektor v med
v = 1 skrives på formen
v = cosθe1 + sin θe2,