Noter til Geometri - Aarhus Universitet

8.1. Generelle konstruktioner af flader 47
Hvad angår betingelserne (i)–(iii) i Definition 8.1 er (i) klar og for (iii) udregnes let
at
⎛
⎞
cosθ cosϕ − sin θ sin ϕ
Dx = ⎝cosθ
sin ϕ sin θ cosϕ ⎠
− sin θ 0
så
∂x
∂θ
∂x
∧
∂ϕ
2
= (cos 2 θ + sin 2 θ) sin 2 θ − 0 = sin 2 θ = 0
for 0 < θ < π, dvs. (iii) er opfyldt. At (ii) er opfyldt følger af en sætning som vises
senere.
8.1 Generelle konstruktioner af flader
Graf for en differentiabel (C ∞ ) funktion
Proposition 8.5. Lad U ⊆ R 2 være en åben mængde og f : U → R en C ∞ funktion.
Så er grafen for F
en regulær flade.
S = {(x, y, f(x, y)) | (x, y) ∈ U}
Bevis. Vi har ét koordinatsystem (U, x), med x: U → S = U ′ defineret ved
x(u, v) = (u, v, f(u, v)), (u, v) ∈ U. Idet V = U × R ⊆ R2 × R = R3 er V ∩ S = S
og x−1 = π|S, hvor π(x, y, z) = (x, y), for (x, y, z) ∈ V . Heraf ses at (i) og (ii) i
Definition 8.1 er opfyldt. Endvidere er det klart at Jacobi-matricen
⎛ ⎞
1 0
Dx = ⎝ 0 1 ⎠
∂f
∂u
har rang 2 i ethvert punkt af U.
Løsningsmængden for en ligning
Definition 8.6. Lad U ⊆ R n åben, F : U → R m en C ∞ funktion.
1. p ∈ U kaldet et kritisk punkt og F(p) en kritisk værdi for F hvis dFp: R n → R m
ikke er surjektiv, dvs. hvis rang DFp < m.
2. p ∈ U kaldes et regulært punkt hvis det ikke er kritisk, dvs. hvis rang DFp = m.
3. a ∈ R m kaldes en regulær værdi hvis det ikke er en kritisk værdi, dvs. hvis
ethvert p ∈ F −1 (a) er et regulært punkt, altså hvis
∂f
∂v
rang DFp = m, ∀p ∈ F −1 (a).