Noter til Geometri - Aarhus Universitet

More documents

Recommendations

Info

32 5. Topologiske rum (iv) Lad X være et kurvesammenhængende topologisk rum, dvs., at der for vilkårlige x, y ∈ X findes en kontinuert kurve, γ : [a, b] → X med γ(a) = x, γ(b) = y. Så er X et sammenhængende rum. (v) Specielt er kurvesammenhængende delmængder af R n sammenhængende.
6 Kompakte rum Hvis x og y er forskellige punkter i et metrisk rum (X, d), så findes åbne mængder Ux og Uy i X, så Ux ∩ Uy = ∅, thi vi kan blot vælge Ux = Bd(x, r) og Uy = Bd(y, r), hvor r ≤ 1d(x, y). 2 Denne påstand er ikke rigtig i ethvert topologisk rum, f.eks. ikke i det trivielle topologisk rum, hvor TX = {∅, X}, med mindre X blot består af ét punkt. Definition 6.1. Et topologisk rum X kaldes et Hausdorff-rum, såfremt der for ethvert par af forskellige punkter x, y ∈ X findes åbne omegne U af x og V af y med U ∩ V = ∅. Lemma 6.2. Lad f : A → X være en injektiv kontinuert afbildning. Hvis X er Hausdorff, så er A Hausdorff. Bevis. Lad a1 = a2 være forskellige punkter i A. Så er f(a1) = f(a2) og, da X er Hausdorff, findes åbne disjunkte omegne U1 og U2 af henholdsvis f(a1) og f(a2). Da f er kontinuert, er f −1 (U1) og f −1 (U2) åbne omegne af henholdsvis a1 og a2, og de er disjunkte. Bemærk specielt at enhver delmængde af et Hausdorff-rum bliver et Hausdorffrum i sportopologien. Lad X = (X, T ) være et topologisk rum, og A en delmængde af X. En familie af åbne delmængder Uα ∈ T , α ∈ I kaldes en åben overdækning af A, såfremt A ⊆ α∈I Uα. Definition 6.3. (i) Et topologisk rum kaldes kompakt, hvis der <strong>til</strong> enhver åben overdækning {Uα|α ∈ I} af X findes en endelig delmængde J ⊆ I, så {Uα | α ∈ J} allerede er en åben overdækning af X. (ii) En delmængde A ⊆ X kaldes kompakt, hvis den er et kompakt rum i sportopologien. Det følgende lemma er en nyttig karakterisation af kompakte delmængder. Lemma 6.4. For en delmængde A ⊆ X, X et topologisk rum, er følgende betingelser ækvivalente. (i) A er kompakt. (ii) Til enhver åben overdækning {Ui | i ∈ I} af A findes en endelig delmængde J ⊆ I så {Uj | j ∈ J} er en overdækning af A. Bevis. Lad A ⊆ X være en delmængde af X som opfylder (ii). Lad Uα = A ∩ Vα, α ∈ I, Vα åbne i X, være åbne mængder i A (med sportopologien), og antag α∈I Uα = A. Så er {Vα | α ∈ I} en åben overdækning af A, og der findes en endelig delmængde J ⊆ I så α∈J Vα ⊇ A. Det følger, at α∈J Uα = A, så A er et kompakt topologisk rum. Antag omvendt, at A er kompakt, og lad {Vα | α ∈ I} være åbne mængder i X som overdækker A. Så er {Vα ∩ A | α ∈ I} åbne mængder i A, og der findes en endelig J ⊆ I med α∈J (Vα ∩ A) = A. Men så er α∈J Vα ⊇ A. 33
Page 1 and 2: N o t e r t i l G e o m e t r i J o
Page 3 and 4: Indhold Litteratur ii 1 Metriske ru
Page 5 and 6: 1 Metriske rum I det Euklidiske tal
Page 7 and 8: 1. Metriske rum 3 Beviset for (1.4)
Page 9: 1. Metriske rum 5 Forskellige metri
Page 12 and 13: 8 2. Fuldstændige metriske rum Sæ
Page 14 and 15: 10 2. Fuldstændige metriske rum S
Page 16 and 17: 12 3. Eksistens- og entydighedssæt
Page 18 and 19: 14 3. Eksistens- og entydighedssæt
Page 21 and 22: 4 Den globale eksistenssætning I d
Page 23 and 24: 4. Den globale eksistenssætning 19
Page 25: 4. Den globale eksistenssætning 21
Page 28 and 29: 24 5. Topologiske rum Ethvert metri
Page 30 and 31: 26 5. Topologiske rum Det følger f
Page 32 and 33: 28 5. Topologiske rum og lad π : Y
Page 34 and 35: 30 5. Topologiske rum Bevis. Lad U1
Page 38 and 39: 34 6. Kompakte rum Eksempel 6.5. Et
Page 40 and 41: 36 6. Kompakte rum Eksempel 6.11. V
Page 42 and 43: 38 6. Kompakte rum Korollar 6.18. L
Page 44 and 45: 40 7. Den inverse funktions sætnin
Page 50 and 51: 46 8. Regulære flader i R 3 Lemma
Page 52 and 53: 48 8. Regulære flader i R 3 Vi ska
Page 54 and 55: 50 8. Regulære flader i R 3 Eksemp
Page 56 and 57: 52 8. Regulære flader i R 3 Bevis.
Page 58 and 59: 54 8. Regulære flader i R 3 Koroll
Page 61 and 62: 9 Opgaver 1.1. Lad X være en mæng
Page 63 and 64: 9. Opgaver C 5.3. Lad (X, d) være
Page 65: 9. Opgaver E 6.1. Lad T være følg
Page 69 and 70: A Greens sætning i planen Vi får
Page 71 and 72: A. Greens sætning i planen K Af tr
Page 73 and 74: B Nogle begreber fra lineær algebr
Page 75 and 76: B.2. Indre produkt O B.2 Indre prod
Page 77: B.2. Indre produkt Q og 〈f(v), v

Noter til Geometri - Aarhus Universitet

You also want an ePaper? Increase the reach of your titles

Delete template?

Save as template?