Noter til Geometri - Aarhus Universitet

48 8. Regulære flader i R 3
Vi skal særligt betragte f : U → R, U ⊆ R3 . I dette tilfælde (med variable (x, y, z) ∈
R3 ) er Jacobi-matricen for f givet ved gradienten
∂f ∂f ∂f
Dfp = (p), (p),
∂x ∂y ∂z (p)
= fx(p), fy(p), fz(p) ,
og der gælder
p ∈ U er kritisk punkt ⇐⇒ ∂f ∂f ∂f
(p) = (p) = (p) = 0
∂x ∂y ∂z
(8.1)
a ∈ R er regulær værdi ⇐⇒ Dfp = (0, 0, 0) ∀p ∈ f −1 (a). (8.2)
Proposition 8.7. Lad U ⊆ R 3 , f : U → R en C ∞ funktion og lad a ∈ R være en
regulær værdi. Så er S = f −1 (a) ⊆ R 3 en regulær flade.
Bevis. Bemærk at
S = f −1 (a) = (x, y, z) ∈ U | f(x, y, z) = a
og lad p = (x0, y0, z0) ∈ S. Så gælder ifølge antagelserne Dfp = (0, 0, 0). Antag uden
indskrænkning ∂f
∂z (p) = 0 og definer F : U → R3 ved
⎛ ⎞
x
F(x, y, z) = ⎝ y ⎠ .
f(x, y, z)
Jacobi-matricen for denne afbildning i p er
⎛
1 0 0
DFp = ⎝ 0 1 0
∂f
∂x (p)
∂f
∂y (p)
∂f
∂z (p)
så det DFp = ∂f
(p) = 0. Ifølge Invers Funktionssætningen (Sætning 7.4 + Ad-
∂z
dendum 7.6) kan vi finde åbne omegne V af p = (x0, y0, z0) og W af F(p) =
(x0, y0, a) så F : V → W er en diffeomorfi. Uden indskrænkning kan vi antage
W = N × (a − ε, a + ε), N ⊆ R2 en åben omegn af (x0, y0), ε > 0. Idet vi bruger de
variable (u, v, t) ∈ W ⊆ R3 er
F(x, y, z) = x, y, f(x, y, z) = (u, v, t), (u, v) ∈ N, |a − t| < ε
dvs. (x, y, z) = F −1 (u, v, t) = u, v, g(u, v, t) . Specielt for t = a fås
Sæt h(u, v) = g(u, v, a), for (u, v) ∈ N.
Påstand.
⎞
⎠
f(u, v, g(u, v, a)) = a (8.3)
f −1 (a) ∩ V = grafen for h
= {(u, v, h(u, v)) | (u, v) ∈ N}.