Noter til Geometri - Aarhus Universitet

12 3. Eksistens- og entydighedssætningen for 1. ordens differentialligninger
For x, y ∈ D0 og t ∈ I0 har vi de differentiable funktioner på U,
z ↦→ fj(z, t), j = 1, . . .,n.
Vi påstår, at der findes et punkt z j
t ∈ [x, y] på liniestykket, der forbinder x med y i
D0, således at
fj(y, t) − fj(x, t) = ∂fj
(z
∂xi
j
t,t)(yi − xi). (3.4)
Dette ses på følgende måde. Liniestykket [x, y] er mængden
[x, y] = {θx + (1 − θ)y | 0 ≤ θ ≤ 1}.
Vi lader g t j være restriktionen af fj(−, t) til [x, y],
g t j (θ) = fj(θx + (1 − θ)y, t), 0 ≤ θ ≤ 1
Middelværdisætningen fortæller, at der findes et θt j ∈ (0, 1), så
i
g t j (1) − gt j (0) = ∂gt j
∂θ (θt j ).
Vi kan bruge kædereglen, [ETP] Sætning 9.14, til at udregne differentialkvotienten
af den sammensatte funktion g t j (θ):
∂gt j
∂θ (θt j ) =
n ∂fj
(θ
∂xi
t jx + (1 − θt j )y, t)(xi − yi).
i=1
Sæt z t j = θ t jx + (1 − θ t j)y. Dette z t j opfylder nu (3.4), og dermed fås
|fj(y, t) − fj(x, t)| ≤ d |yi − xi| ≤ √ nd|y − x|,
hvor den sidste ulighed følger fra Cauchy-Schwarz’ ulighed:
|yi − xi| = |〈y − x, 〉| ≤ |y − x| · | | = √ n|y − x|,
hvor = (1, 1, . . ., 1). Det følger så, at
|f(y, t) − f(x, t)| ≤ nd|y − x|.
Bevis. (for Sætning 3.1)
(i) Lokal eksistens: Vælg I0 og D0 som i Lemma 3.2. For et lukket og begrænset
delinterval K af I0 som indeholder t0, definerer vi en afbildning
T : C(K, D0) → C(K, R n ),