Noter til Geometri - Aarhus Universitet

More documents

Recommendations

Info

L A. Greens sætning i planen Bemærkning A.7. (1) Hvis i dette eksempel ¯α er en lukket kurve, dvs. a = b = 2π, reducerer højresiden til Ādū + ¯ Bd¯v. ¯α (2) Formlen i eksempel A.6 udvides let til tilfældet hvor α er stykkevis C ∞ .
B Nogle begreber fra lineær algebra i 2 dimensioner B.1 Vektorrum og lineære afbildninger Vi begynder med at repetere de centrale begreber fra kapitel 3 i F. Beauregard: Linear algebra vedrørende abstrakt 2-dimensionale vektorrum. Tangentplanen Tp S til en regulær flade S ⊂ R 3 er vores primære eksempel. Det er et underrum af talrummet R 3 . En delmængde V ⊂ R 3 er et underrum såfremt v1, v2 ∈ V ⇒ v1 + v2 ∈ V λ ∈ R, v ∈ V ⇒ λv ∈ V. Det er et 2-dimensionalt underrum, såfremt det har en basis bestående af to vektorer b1 ∈ V og b2 ∈ V , dvs. (i) V = {λ1b1 + λ2b2 | λ1, λ2 ∈ R} (ii) λ1b1 + λ2b2 = 0 ⇒ λ1 = 0 og λ2 = 0. En afbildning f : V → W mellem vektorrum er lineær hvis f(λ1v1 + λ2v2) = λ1f(v1) + λ2f(v2) for vilkårlige v1, v2 ∈ V og λ1, λ2 ∈ R. En lineær afbildning f : R2 → R2 er giver ved en 2 × 2 matrix: a11 a12 1 A = , hvor f = 0 Så er f a21 a22 x1 x2 = x1f 1 + x2f 0 a11 a21 0 = 1 og f a11 a12 a21 a22 0 = 1 x1 En basis B = {b1, b2} for V inducerer en isomorfi ˆB: R 2 → V, B(λ1, ˆ λ2) = λ1b1 + λ2b2. a12 Hvis B1 og B2 er to baser for V , så er overgangsmatricen T12 givet ved det kommutative diagram R 2 ˆB1 V T12 ˆB2 R 2 x2 . a22 . , T12 = ˆ B −1 2 ◦ ˆ B1. (B.1) Lad f : V → W være en lineær afbildning mellem 2-dimensionale vektorrum, og lad B og C være baser for henholdsvis V og W. Vi definerer den lineære afbildning F : R 2 → R 2 ved det kommutative diagram ˆB V R 2 f W F R 2 Ĉ , F = Ĉ−1 ◦ f ◦ ˆ B. (B.2) M
Page 1 and 2:
N o t e r t i l G e o m e t r i J o
Page 3 and 4:
Indhold Litteratur ii 1 Metriske ru
Page 5 and 6:
1 Metriske rum I det Euklidiske tal
Page 7 and 8:
1. Metriske rum 3 Beviset for (1.4)
Page 9:
1. Metriske rum 5 Forskellige metri
Page 12 and 13:
8 2. Fuldstændige metriske rum Sæ
Page 14 and 15:
10 2. Fuldstændige metriske rum S
Page 16 and 17:
12 3. Eksistens- og entydighedssæt
Page 18 and 19:
14 3. Eksistens- og entydighedssæt
Page 21 and 22: 4 Den globale eksistenssætning I d
Page 23 and 24: 4. Den globale eksistenssætning 19
Page 25: 4. Den globale eksistenssætning 21
Page 28 and 29: 24 5. Topologiske rum Ethvert metri
Page 30 and 31: 26 5. Topologiske rum Det følger f
Page 32 and 33: 28 5. Topologiske rum og lad π : Y
Page 34 and 35: 30 5. Topologiske rum Bevis. Lad U1
Page 36 and 37: 32 5. Topologiske rum (iv) Lad X v
Page 38 and 39: 34 6. Kompakte rum Eksempel 6.5. Et
Page 40 and 41: 36 6. Kompakte rum Eksempel 6.11. V
Page 42 and 43: 38 6. Kompakte rum Korollar 6.18. L
Page 44 and 45: 40 7. Den inverse funktions sætnin
Page 50 and 51: 46 8. Regulære flader i R 3 Lemma
Page 52 and 53: 48 8. Regulære flader i R 3 Vi ska
Page 54 and 55: 50 8. Regulære flader i R 3 Eksemp
Page 56 and 57: 52 8. Regulære flader i R 3 Bevis.
Page 58 and 59: 54 8. Regulære flader i R 3 Koroll
Page 61 and 62: 9 Opgaver 1.1. Lad X være en mæng
Page 63 and 64: 9. Opgaver C 5.3. Lad (X, d) være
Page 65: 9. Opgaver E 6.1. Lad T være følg
Page 69 and 70: A Greens sætning i planen Vi får
Page 71: A. Greens sætning i planen K Af tr
Page 75 and 76: B.2. Indre produkt O B.2 Indre prod
Page 77: B.2. Indre produkt Q og 〈f(v), v
show all

Noter til Geometri - Aarhus Universitet

You also want an ePaper? Increase the reach of your titles

Delete template?

Save as template?