Noter til Geometri - Aarhus Universitet

3. Eksistens- og entydighedssætningen for 1. ordens differentialligninger 13
hvor Tx er funktionen
Tx(t) = x0 +
t
t0
f(x(s), s) ds, t ∈ K. (3.5)
At Tx faktisk er en kontinuert funktion i t ses let, idet f er kontinuert. Vi vil først
vise, at når længden ℓ(K) af K er lille, da vil T transformere C(K, D0) i sig selv.
Lad S = sup{|f(x, t)| (x, t) ∈ D0 × I0}. Så gælder
t
|Tx(t) − x0| ≤
|f(x(s), s)| ds
≤
t
S ds
≤ Sℓ(K), t ∈ K.
t0
Det følger, at Tx(t) ∈ D0 for alle t ∈ K når ℓ(K) ≤ rS−1 . I det følgende antages
dette. Vi betragter nu T som en operator på C(K, D0). For x, y ∈ C(K, D0) har vi,
idet vi benytter supremumsnormen · ∞ på C(K, Rn ) fra (2.1), at
t
|Ty(t) − Tx(t)| =
(f(y(s), s) − f(x(s), s)) ds
(3.6)
t0
t
≤
|f(y(s), s) − f(x(s), s)| ds
t0
t
≤
c|y(s) − x(s)| ds
t0
t
≤
cy − x∞ ds
Det følger, at
t0
t0
= cy − x∞ · |t − t0| ≤ cℓ(K)y − x∞, ∀t ∈ K.
Ty − Tx∞ ≤ cℓ(K)y − x∞. (3.7)
Lad os rekapitulere situationen. Vi begyndte i Lemma 3.2 med at vælge D0 =
B(x0, r) og et interval I0 ⊆ I som indeholder t0, og fandt en konstant c ≥ 0, således
at uligheden i Lemma 3.2 er opfyldt. Ovenfor så vi, at hvis K ⊆ I0 er et delinterval,
som indeholder t0, så giver T defineret i (3.5) en afbildning
T : C(K, D0) → C(K, D0), (3.8)
forudsat at længden ℓ(K) af intervallet K opfylder uligheden ℓ(K) ≤ rS−1 . Her er
r radius i D0 og S er supremum af {|f(x, t) | (x, t) ∈ D0 × I0}. I (3.7) fandt vi at T
er en kontraktion forudsat at cℓ(K) < 1.
Vi vælger nu K så lille, at begge uligheder er opfyldt, dvs.
1 r
ℓ(K) < min , . (3.9)
c S
Vi ønsker at bruge fikspunktssætningen, Sætning 2.6, på afbildningen T i (3.8).
Dette kræver, at C(K, D0) er fuldstændigt. Vi ved fra Sætning 2.5, at C(K, R n )
er fuldstændigt, og ifølge Lemma 2.7 er det nok at vise, at C(K, D0) er en lukket