Noter til Geometri - Aarhus Universitet

B.2. Indre produkt Q
og
〈f(v), v〉 = 〈cosθ · λ1e1 + sin θ · λ2e2, cosθe1 + sin θe2〉
= λ1 cos 2 θ + λ1 sin 2 θ.
Funktionen ϕ(θ) = λ1 cos 2 θ + λ2 sin 2 θ har
og θ = 0, θ = π
2
Det følger, at
ϕ ′ (θ) = (λ2 − λ1) sin(2θ) = 0 for θ = 0 + kπ, θ = π
+ kπ,
2
er derfor ekstremums punkter. Vi har
〈f(v), v〉 = λ1 for θ = 0 + kπ
〈f(v), v〉 = λ2 for θ = π
+ kπ.
2
max(λ1, λ2) = max{〈f(v), v〉 | v = 1}
min(λ1, λ2) = min{〈f(v), v〉 | v = 1}
Dette kan bruges til at give et andet bevis for Sætning B.2, se doCarmo side 214–216.