Noter til Geometri - Aarhus Universitet

52 8. Regulære flader i R 3
Bevis. Vi bruger samme teknik som ovenfor. Det er nok at vise at x −1 ◦ f er C ∞
i en omegn af et vilkårligt punkt p ∈ W. Lad f(p) = x(q), q ∈ U og antag som i
beviset for Proposition 8.11 at Jacobi-matricen for π ◦ x(u, v) = x(u, v), y(u, v)
er ikke-singulær i punktet q. (Igen er π: R 3 → R 2 projektionen π(x, y, z) = (x, y),
(x, y, z) ∈ R 3 .) Igen følger det af Invers Funktionssætningen at der findes åbne
omegne V1 ⊆ U af q så π ◦ x (V1) = V2 ⊆ R 2 er åben og h = π ◦ x: V1 → V2 er
en diffeomorfi. Sæt V ′
1 = x(V1) ⊆ S som altså er en omegn af x(q) = f(p); og igen
er y = x ◦ h−1 : V2 → V ′
1 et graf-koordinatsystem med invers y−1 = h ◦ x−1 = π|V ′ 1 .
Da nu f : W → S ⊆ R3 er kontinuert mht. sportopologien for S ⊆ R3 kan vi uden
indskrænkning antage f(W) ⊆ V . Men så er
x −1 ◦ f = x −1 ◦ y ◦ y −1 ◦ f = h −1 ◦ π ◦ f
som er en sammensætning af C ∞ afbildninger og dermed C ∞ .
Korollar 8.14. Lad W ⊆ R n være åben og f : W → R 3 en kontinuert afbildning
med f(W) ⊆ S, S ⊆ R 3 en regulær flade. Så er flg. ækvivalente:
(i) f : W → R 3 er en C ∞ afbildning.
(ii) For ethvert koordinatsystem (U, x) med koordinatomegn U ′ ⊆ S er
x −1 ◦
−1
f| f −1 (U ′ ) : f (U) → U
en C∞ afbildning.
(iii) Der findes overdækning U ′
α af S med koordinatonegne hørende til koor-
α∈A
dinatsystemer (Uα, xα) så x−1 α ◦
∞ f| f −1 (Uα) er C for alle α ∈ A.
Bevis. Umiddelbart fra Sætning 8.13 og Lemma 8.3.
Korollar 8.15 (Parameterskift-sætningen). Lad S ⊆ R 3 være en regulær flade,
lad p ∈ S og x: U → U ′ , y: V → V ′ to koordinatsystemer med p ∈ U ′ ∩V ′ = W ′ . Så
er h = x −1 ◦y: y −1 (W ′ ) → x −1 (W ′ ) en diffeomorfi med C ∞ invers h −1 = y −1 ◦x −1 .
Bevis. h er klart bijektiv. Nok at vise at h er C ∞ , thi så er h −1 = y −1 ◦ x også
C ∞ ved symmetri. Men h er C ∞ ifølge Sætning 8.13 anvendt på koordinatsystemet
(V, y).
Korollar 8.16. Lad S være en regulær flade, f : S → R n en afbildning og lad p ∈ S.
Lad endvidere x: U → U ′ , y: V → V ′ være to koordinatsystemer med p ∈ U ′ ∩ V ′ .
Så gælder
f ◦ x er C ∞ i en omegn af x −1 (p), hvis og kun hvis f ◦ y er C ∞ i en
omegn af y −1 (p).