Noter til Geometri - Aarhus Universitet

4 1. Metriske rum
I et metrisk rum (X, d) indføres åbne og lukkede kugler:
Bd(x, r) = {y ∈ X| d(x, y) < r}
Bd(x, r) = {y ∈ X| d(x, y) ≤ r}
(1.7)
Som regel er afstandsfunktionen d underforstået og vi skriver blot B(x, r) og B(x, r).
En afbildning f : X → Y mellem metriske rum er kontinuert i punktet x ∈ X,
hvis den opfylder betingelsen
∀ ε > 0 ∃ δ > 0 : dX(x, y) < δ ⇒ dY (f(y), f(x)) < ε. (1.8)
Afbildningen er kontinuert, hvis den er kontinuert i alle sine punkter. Begrebet
kontinuitet kan gives en bedre formulering ved at indføre begrebet åben mængde:
Definition 1.6. En delmængde U ⊆ X af et metrisk rum kaldes åben, hvis der til
ethvert punkt x ∈ U findes en kugle B(x, ε) ⊆ U.
Kuglen B(x, ε) ⊆ X er en åben mængde, og komplementet X − B(x, ε) er ligeledes
åben. Dette følger umiddelbart fra trekantsuligheden.
Sætning 1.7. En afbildning f : X → Y mellem metriske rum er kontinuert, hvis
og kun hvis urbilledet f −1 (U) er åbent for enhver åben mængde U ⊆ Y .
Bevis. Antag først, at f er kontinuert i alle sine punkter, og lad U ⊆ Y være åben.
For x ∈ f −1 (U) vælges ε > 0, så B(f(x), ε) ⊆ U. Ifølge (1.8) findes δ > 0 med
f(B(x, δ)) ⊆ B(f(x), ε) og dermed B(x, δ) ⊆ f −1 (U). Dette gælder for ethvert
x ∈ f −1 (U), som derfor er åben.
Antag modsat, at f −1 (U) er åben for enhver åben delmængde U af Y . Vi viser,
at f er kontinuert i punktet x ∈ X. Lad ε > 0. Da B(f(x), ε) ⊆ Y er åben, er
f −1 (B(f(x), ε)) ⊆ X åben, og da x ∈ f −1 (B(f(x), ε)) findes en kugle B(x, δ) ⊆
f −1 (B(f(x), ε)). Dette er præcis betingelsen (1.8).
Definition 1.8. En delmængde A ⊆ X af det metriske rum kaldes lukket, såfremt
komplementet X − A er åbent.
Vi bemærker, at Sætning 1.7 har følgende korollar.
Sætning 1.9. En afbildning f : X → Y mellem metriske rum er kontinuert, hvis
og kun hvis urbilledet f −1 (A) er lukket for enhver lukket mængde A ⊆ Y .
Bevis. Der gælder for urbilleder, at
Betingelserne
f −1 (Y − A) = X − f −1 (A).
f −1 (åben) = åben
f −1 (lukket) = lukket
er derfor ækvivalente.