Noter til Geometri - Aarhus Universitet

More documents

Recommendations

Info

38 6. Kompakte rum Korollar 6.18. Lad X være et kompakt rum og f : X → R en kontinuert funktion. Så antager f både sin supremumsværdi og sin infimumsværdi. Bevis. Fra Sætning 6.7(i) ved vi at f(X) ⊆ R er en kompakt mængde og derfor begrænset og lukket ifølge Sætning 6.17. Det følger, at sup f(X) < ∞, og at sup f(X) ∈ f(X). Tilsvarende for infimum.
7 Den inverse funktions sætning I denne paragraf vender vi <strong>til</strong>bage <strong>til</strong> differentiabilitet for funktioner F : U → R m , hvor U er en åben delmængde af R n . En sådan funktion består af m koordinatfunktioner F(x) = (F1(x), . . . , Fm(x)), x = (x1, . . .,xn). Vi siger, at F er af klasse C1 , hvis enhver koordinatfunktion Fν(x) er kontinuert differentiabel, dvs. at ∂Fν ∂Fν (u) eksisterer for alle u ∈ U, og at : U → R er ∂xi ∂xi kontinuert. Hvis disse n·m funktioner har klasse C1 , siges F at have klasse C2 o.s.v. Definition 7.1. Lad U ⊆ R n være åben. En afbildning F : U → R m har klasse Ck (1 ≤ k ≤ ∞), hvis Fν har kontinuerte partielle afledede af alle ordener ≤ k. Hvis k = ∞, siges F at være glat (eller i [dC], differentiabel). For et punkt u ∈ U defineres Jacobimatricen i punktet u: DFu = ⎛ ⎜ ⎝ ∂F1 ∂x1 ∂Fm ∂x1 (u) . . . . . .. (u) . . . ∂F1 ∂xn (u) . ∂Fm ∂xn (u) Det er en m × n matrix og giver en lineær afbildning dFu : R n → R m , som vi kalder differentialet af F i punktet u. Hvis U ⊆ R n og V ⊆ R m er åbne mængder, og vi har funktioner F : U → R m , G : V → R l med F(U) ⊆ V , så kan vi danne den sammensatte funktion Dens j’te koordinatfunktion er G ◦ F : U → R l ⎞ (G ◦ F)j(x) = Gj(F1(x), . . .,Fm(x)). ⎟ ⎠ (7.1) Det er velkendt fra Matematisk Analyse 1, se f.eks. Sætning 9.36 i [ETP], hvordan man udregner de partielle afledede af (G ◦ F)j, nemlig ∂(G ◦ F)j (u) = ∂xi m ∂Gj k=1 ∂xk (F(u)) ∂Fk (u) (7.2) ∂xi Vi ser, at G ◦ F har klasse C1 , hvis både G og F har klasse C1 . Men (7.2) giver også, at G ◦ F har klasse C2 , hvis F og G har klasse C2 . Man differentierer (7.2) m.h.t. x, og bemærker at ∂ af højre side bliver kontinuert. Induktivt ser vi, at hvis ∂x F og G har klasse Ck , så gælder det samme for G ◦ F. 39
Page 1 and 2: N o t e r t i l G e o m e t r i J o
Page 3 and 4: Indhold Litteratur ii 1 Metriske ru
Page 5 and 6: 1 Metriske rum I det Euklidiske tal
Page 7 and 8: 1. Metriske rum 3 Beviset for (1.4)
Page 9: 1. Metriske rum 5 Forskellige metri
Page 12 and 13: 8 2. Fuldstændige metriske rum Sæ
Page 14 and 15: 10 2. Fuldstændige metriske rum S
Page 16 and 17: 12 3. Eksistens- og entydighedssæt
Page 18 and 19: 14 3. Eksistens- og entydighedssæt
Page 21 and 22: 4 Den globale eksistenssætning I d
Page 23 and 24: 4. Den globale eksistenssætning 19
Page 25: 4. Den globale eksistenssætning 21
Page 28 and 29: 24 5. Topologiske rum Ethvert metri
Page 30 and 31: 26 5. Topologiske rum Det følger f
Page 32 and 33: 28 5. Topologiske rum og lad π : Y
Page 34 and 35: 30 5. Topologiske rum Bevis. Lad U1
Page 36 and 37: 32 5. Topologiske rum (iv) Lad X v
Page 38 and 39: 34 6. Kompakte rum Eksempel 6.5. Et
Page 40 and 41: 36 6. Kompakte rum Eksempel 6.11. V
Page 44 and 45: 40 7. Den inverse funktions sætnin
Page 50 and 51: 46 8. Regulære flader i R 3 Lemma
Page 52 and 53: 48 8. Regulære flader i R 3 Vi ska
Page 54 and 55: 50 8. Regulære flader i R 3 Eksemp
Page 56 and 57: 52 8. Regulære flader i R 3 Bevis.
Page 58 and 59: 54 8. Regulære flader i R 3 Koroll
Page 61 and 62: 9 Opgaver 1.1. Lad X være en mæng
Page 63 and 64: 9. Opgaver C 5.3. Lad (X, d) være
Page 65: 9. Opgaver E 6.1. Lad T være følg
Page 69 and 70: A Greens sætning i planen Vi får
Page 71 and 72: A. Greens sætning i planen K Af tr
Page 73 and 74: B Nogle begreber fra lineær algebr
Page 75 and 76: B.2. Indre produkt O B.2 Indre prod
Page 77: B.2. Indre produkt Q og 〈f(v), v

Noter til Geometri - Aarhus Universitet

Create successful ePaper yourself

Delete template?

Save as template?