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Eine Person, deren Vermögen a ist, möge mit der Wahrscheinlichkeit p
auf das
Eintreffen eines Gewinnes a rechnen können, während mit der entgegengesetzten Wahr-
—
scheinlichkeit g—l p
H dieses Gewinnes ist dann
das Ausbleiben desselben zu erwarten ist. Der moralische Wert
H =
p
Ja
,a+a
f (x; a) dx,
oder, wenn wir die rechte Seite mit dem der Einheit gleichen Faktor
multiplizieren:
(23)
(p+q)^n-1
H= \p» + (n-1) p»- ]
g + ..,+pq»-'] ( jUx;a) dx.
Wird dagegen der gefährdete Gewinn a gleichmässig auf n gleichartige Gefahren
verteilt, so ist einer der folgenden
Gewinne zu erwarten:
n—l n—2 x
a, x, x, .. .
n n n
i (J,
und die Wahrscheinlichkeiten für die Erzielung dieser Gewinne sind bezw. gleich den
Gliedern der Newtonschen Entwicklung für
(p+q)^n
Der moralische Wert des Unternehmens für diesen Fall ist daher
—
-a /»öH pū-\
•-.a-f-a n n i
(24) / f(x\a)dx+np-'qj f(x\a)dx +...+ npq*-'J f(x\a)dx\
. 'a
das Glied mit 0" verschwindet, weil sein Faktor in Integralform den Wert Null hat.
Wir haben jetzt die Differenz K—
H zu bilden. Hierbei erweist es sich, dass die
Differenz an gleicher Stelle stehender Summanden in den Ausdrücken (24) und (23) stets
positiv ist. In der Tat erhält man für den Unterschied der allgemeinen, pn-mqm ent-
haltenden Glieder:
n(n-l).-.(n-rn+l)
/. 2...m
F
n—m
>) f(x '> a>
a
dx
a+ x
r
(n—l) (n-2)...(n-m)
/
n m m
p
/ 2 m
n"
l qm
J f(x\a)dx, .
oder wenn man von dem gemeinsamen positiven Faktor
(n-1)...(n-m +Q
1.2....m
p q
.j
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