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2. THEORETISCHE GRUNDLAGEN 41
2
d(
z)
nun nach z und sucht den Extremalwert bei = 0
dx
Daraus erhält man:
− (4
2 2
2 2
xb + 2b
− y0
) y0
(2b
− y0
+
− 2y
+ 2y
2
0
= −
2
4b
4b
4vb)
y
0
(Gl. 40)
2yb
y0 =
(Gl. 41)
− x + 2b
+ v
y 0 ist der y-Wert des Mittelpunktes von der Kugel, die am Punkt x,y,z die Einhüllende
berührt. Um nun die Gleichung der Einhüllenden zu erhalten, genügt es y 0 in obige Gleichung
einzusetzen. Man erhält:
x
3
− x
2
b − x
2
v + xz
2
+ xy
2
2 2
− 2xvb
− 2xb
− xv − y
x − 2b
− v
2
v + 2vb
2
− 2z
2
b − z
2
v + 3bv
2
+ v
3
= 0
(Gl. 42)
Die Einhüllende für eine erzeugende Gerade bei x=v und einem berührenden Kreis mit dem
Radius B, der der Brennweite der Parabel entspricht, ist durch folgende Gleichung in
implizierter Form gegeben:
2
3 2 2
fgz( x,
y,
z,
b,
v)
= z ( x − 2b
− v)
+ x − x b − x v −
(Gl. 43)
− xv
2
+ xy
2
− 2 xvb − 2xb
2
− y
2
v + 2vb
2
+ 3bv
2
+ v
3
= 0
Zum Verständnis ist es sinnvoll die Gleichung nach y und z aufzulösen. Man findet für
und für
y
z
2
2
2
− ( x − 2b
− v)(
x + xb − vb + z
=
x − v
− ( x − v)(
x
=
2
2
− xb + y − 3vb
− 2b
x − 2b
− v
2
2
− v )
2
2
− v )
(Gl. 44)
(Gl. 45)