Grundlagen der Digitaltechnik - Ing. H. Heuermann - FH Aachen

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21 Kapitel 3 Logische Grundfunktionen der Digitaltechnik 3.1 Die logischen Grundfunktionen Zwei Zustände: entweder: High ˆ= H ˆ= 1 > U H oder: Low ˆ= L ˆ= 0 < U L U H : Schwellspannung für den High-Zustand U L : Schwellspannung für den Low-Zustand x i : Eingangsgröße des Einganges i = 1,2,3,... y: Ausgangsgröße a) Konjunktion, UND-Verknüpfung x 1 x 2 y = x 1 · x 2 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 b) Disjunktion, ODER-Verknüpfung x 1 x 2 y = x 1 + x 2 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1 c) Negation, NICHT-Operation x y = x 0 1 1 0 Tab. 3.1. Wahrheitstabelle der logischen Grundverknüpfungen Konjunktion, UND: y = x 1 ∧ x 2 = x 1 · x 2 = x 1 x 2 (3.1) Disjunktion, ODER: y = x 1 ∨ x 2 = x 1 + x 2 (3.2) Negation, NICHT: y = x (3.3)
22 Logische Grundfunktionen der Digitaltechnik Axiome Duale Form Operation mit 0 und 1: x · 1 = x (3.1a) x+0 = x (3.1b) Gesetz für die Negation: x · x = 0 (3.2a) x + x = 1 (3.2b) Kommutatives Gesetz: x 1 · x 2 = x 2 · x 1 (3.3a) x 1 + x 2 = x 2 + x 1 (3.3b) Distributives Gesetz: x 1 · (x 2 + x 3 ) = x 1 · x 2 + x 1 · x 3 (3.4a) x 1 + x 2 · x 3 = (x 1 + x 2 ) · (x 1 + x 3 ) (3.4b) Theoreme Duale Form Assoziatives Gesetz : x 1 · (x 2 · x 3 ) = (x 1 · x 2 ) · x 3 (3.5a) x 1 + (x 2 + x 3 ) = (x 1 + x 2 ) + x 3 (3.5b) De Morgansgesetz : x 1 · x 2 = x 1 + x 2 (3.6a) x 1 + x 2 = x 1 · x 2 (3.6b) Absorptionsgesetz: x 1 · (x 1 + x 2 ) = x 1 (3.7a) x 1 + x 1 · x 2 = x 1 (3.7b) Tautologie: x · x = x (3.8a) x + x = x (3.8b) Doppelte Negation: x = x (3.9a) Operationen mit 0 und 1: x · 0 = 0 (3.10a) x + 1 = 1 (3.10b) 0 = 1 (3.11a) 1 = 0 (3.11b) Tab. 3.2. Axiome und abgeleitete Gesetze der Schaltalgebra Beispiel 1: x 1 x 2 x 1 · x 2 y = x 1 + x 1 · x 2 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 1 1 1 1 Tab. 3.3. Verifikation des Absorptionsgesetzes x 1 + x 1 · x 2 = x 1 Beispiel 2: Es soll hier anhand der Axiome der Tab.3.2. die Aussage x + x = x bestätigt werden. x + x = (x + x) · 1 gemäß (3.1a) = (x + x) · (x + x) gemäß (3.2b) = x + (x · x) gemäß (3.4b) = x + 0 gemäß (3.2a) = x gemäß (3.1b)
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