Grundlagen der Digitaltechnik - Ing. H. Heuermann - FH Aachen

22 Logische Grundfunktionen der Digitaltechnik
Axiome
Duale Form
Operation mit 0 und 1:
x · 1 = x (3.1a) x+0 = x (3.1b)
Gesetz für die Negation:
x · x = 0 (3.2a) x + x = 1 (3.2b)
Kommutatives Gesetz:
x 1 · x 2 = x 2 · x 1 (3.3a) x 1 + x 2 = x 2 + x 1 (3.3b)
Distributives Gesetz:
x 1 · (x 2 + x 3 ) = x 1 · x 2 + x 1 · x 3 (3.4a) x 1 + x 2 · x 3 = (x 1 + x 2 ) · (x 1 + x 3 ) (3.4b)
Theoreme
Duale Form
Assoziatives Gesetz :
x 1 · (x 2 · x 3 ) = (x 1 · x 2 ) · x 3 (3.5a) x 1 + (x 2 + x 3 ) = (x 1 + x 2 ) + x 3 (3.5b)
De Morgansgesetz :
x 1 · x 2 = x 1 + x 2 (3.6a) x 1 + x 2 = x 1 · x 2 (3.6b)
Absorptionsgesetz:
x 1 · (x 1 + x 2 ) = x 1 (3.7a) x 1 + x 1 · x 2 = x 1 (3.7b)
Tautologie:
x · x = x (3.8a) x + x = x (3.8b)
Doppelte Negation:
x = x
(3.9a)
Operationen mit 0 und 1:
x · 0 = 0 (3.10a) x + 1 = 1 (3.10b)
0 = 1 (3.11a) 1 = 0 (3.11b)
Tab. 3.2. Axiome und abgeleitete Gesetze der Schaltalgebra
Beispiel 1:
x 1 x 2 x 1 · x 2 y = x 1 + x 1 · x 2
0 0 0 0
0 1 0 0
1 0 0 1
1 1 1 1
Tab. 3.3. Verifikation des Absorptionsgesetzes x 1 + x 1 · x 2 = x 1
Beispiel 2:
Es soll hier anhand der Axiome der Tab.3.2. die Aussage x + x = x bestätigt werden.
x + x = (x + x) · 1 gemäß (3.1a)
= (x + x) · (x + x) gemäß (3.2b)
= x + (x · x) gemäß (3.4b)
= x + 0 gemäß (3.2a)
= x gemäß (3.1b)