Skriptum zur Vorlesung Mengenlehre

11.7. KARDINALZAHLEN 93Definitionα + := µξ (ξ ∈ Cn ∧ α < ξ )kardinaler NachfolgerMit Hilfe des Satzes von CANTOR (und des Auswahlaxioms) ergibt sich wiein obigem Beweis:α ≺ α + ≤ |P(α)|.Man kann stattdessen aber auch die HARTOGsche FunktionH(a) := {ξ | ξ ≼ a}verwenden und ohne Benutzung des Auswahlaxioms zeigen, daßH(α) = µξ (|α| < ξ ) = α +ist. Zur Aufzählung der unendlichen Kardinalzahlen benutzt man seit CANTORden hebräischen Buchstaben ℵ (aleph):ω = ℵ 0 < ℵ 1 < ...ℵ ω < ...Aleph-Funktionℵ 0 ist also die Kardinalzahl abzählbar-unendlicher Mengen, ℵ 1 die erste überabzählbareKardinalzahl, allgemeiner ℵ α+1 = ℵ + α und (nach (iii) des obigen Lemmas)ℵ λ = ⋃ ξ