Skriptum zur Vorlesung Mengenlehre

11.5. SATZ VON CANTOR 9011.5 Satz von Cantora ≺ P(a)Beweis: Da durch x ↦→ {x} eine injektive Funktion definiert wird, ist a ≼ P(a). DieAnnahme a ∼ P(a) widerlegt man wie im Fall a = ω durch ein Diagonalargument:Falls f : a ↠ P(a), so setze man d := {x ∈ a | x ∉ f (x)}. Dann erhält man wegender Surjektivität von f ein b ∈ a mit d = f (b), was aber mitb ∈ f (b) = d ↔ b ∉ f (b)zum Widerspruch führt!□11.6 Alternative zum GrößenvergleichDa bei einer Abbildung Mengen möglicherweise auf dasselbe Element abgebildetwerden können, wird man das Bild einer Menge a als höchstens so groß wie aselbst ansehen. Man findet daher auch folgende Definition:a ≼ ∗ b :↔ a = /0 ∨ ∃ f ( f : b ↠ a).Für die Definition der Abzählbarkeit haben wir z. B.:a abzählbar ↔ a ≼ ∗ ω ↔ a ≼ ω,und der obige Satz von CANTOR besagt gerade: a ⋠ ∗ P(a). Allgemein gilt:a ≼ b ↔ a ≼ ∗ b,und zwar (→), weil eine injektive Funktion stets eine Umkehrfunktion besitzt,aber für die Umkehrung benötigt man das Auswahlaxiom (oder zumindest eineWohlordnung von b)! Ebenso gilt zwar stets F[a] ≼ ∗ a, aber F[a] ≼ a allgemeinnur, wenn das Auswahlaxiom vorausgesetzt ist.11.7 KardinalzahlenFür die Mächtigkeit einer Menge a, bezeichnet mit a, soll gelten:a = b ↔ a ∼ b.Diese Eigenschaft kann man in verschiedener Weise erfüllen: