Skriptum zur Vorlesung Mengenlehre

2.2. AUSWEGE AUS DEN ANTINOMIEN 13Dieses Axiom (eigentlich ein Axiomenschema, da es aus unendlich vielen Axiomenbesteht) ist nun aber widerspruchsvoll: Wie wir gerade mittels der Antinomievon BURALI-FORTI gesehen haben, führt es für die Eigenschaft Ord(x) zu einemWiderspruch, da es keine Menge aller Ordinalzahlen geben kann. B. RUSSELLentdeckte einen weiteren Widerspruch, der viel elementarer zu erhalten ist:RUSSELLsche Antinomie (1903)Wählt man für ϕ(x) die Formel x ∉ x, so liefert das Komprehensionsaxiom dieExistenz einer Menge r mit∀x(x ∈ r ↔ x ∉ x) insbesondere gilt für x = r :r ∈ r ↔ r ∉ rWiderspruch!Ähnliche Widersprüche erhält man, wenn man für ϕ(x) die Formelx = xAntinomie der “Menge aller Mengen” von CANTORx ist Kardinalzahl Antinomie von CANTOR (um 1899, publiziert erst 1932)x ist OrdinalzahlAntinomie von CANTOR und BURALI-FORTIwählt, wobei man allerdings noch einige Schritte in der Anwendung der Theoriedurchführen muß, um zum Widerspruch zu gelangen, während die Antinomievon RUSSELL (die um die gleiche Zeit auch bereits ZERMELO bekannt war) sehrelementar - und daher besonders beeindruckend - ist.2.2 Auswege aus den Antinomiena) RUSSELLsche Typentheorie:Im Komprehensionsaxiom darf zur Vermeidung eines circulus vitiosus beider Definition der Menge y durch die Eigenschaft ϕ(x) nicht auf einen BereichBezug genommen werden, dem dieses y selbst angehört. Man nimmteine Stufeneinteilung vor: x 0 ,x 1 ,... und vereinbart, daß x n ∈ x m nur erlaubtist, wenn m = n + 1. Das Komprehensionsaxiom hat dann die Form∃y n+1 ∀x n (x n ∈ y n+1 ↔ ϕ(x n )).Da die Bildung von r n ∉ r n nicht mehr erlaubt ist, ist die RUSSELLsche Antinomienicht mehr formulierbar. Dieses prädikative Komprehensionsaxi-