Skriptum zur Vorlesung Mengenlehre

15.3. HIERARCHIESÄTZE IN ZF 13715.3.1 Hauptsatz über kumulative und stetige Hierarchien(M α |α ∈ On) sei eine kumulative und stetige Hierarchie von Mengen mit M =⋃α∈On M α . Dann gibt es zu jeder ZF-Formel (im engeren Sinne) ϕ(a) mit denangegebenen freien Variablen eine Normalfunktion F mitF(α) = α → ∀x ∈ M α (ϕ M α(x) ↔ ϕ M (x)).Beweis durch Induktion über den Formelaufbau von ϕ. Dabei können wir uns aufden Fall ϕ = ∃y ψ beschränken. Nach Induktionsvoraussetzung gibt es also eineNormalfunktion G mitG(α) = α → ∀x,y ∈ M α (ψ M α(x,y) ↔ ψ M (x,y)).Wir definieren eine Funktion H durchH(α) = µβ(α < β ∧ ∀x ∈ M α (∃y ∈ M ψ M (x,y) → ∃y ∈ M β ψ M (x,y))und weiterhin durch transfinite Rekursion eine Normalfunktion F mitF(0) = 0,F(α + 1) = H(F(α)),F(λ) = ⋃F(ξ )ξ