Skriptum zur Vorlesung Mengenlehre

10.4. ANWENDUNGEN DES AUSWAHLAXIOMS 79BOOLEsches PrimidealtheoremEine BOOLEsche Algebra ist ein Modell (B,∧,∨,−,0,1) der BOOLEschen Gesetze,die wir in 3.3 für die mengentheoretischen Operationen formuliert haben.Um den trivialen Fall auszuschließen, fügen wir noch /0 ≠ V als Axiom hinzu, sodaß stets 0 ≠ 1 gilt und die kleinste BOOLEschen Algebra aus zwei Elementenbesteht.Beispiele und Bemerkungen1. Für eine nicht-leere Menge M ist (P(M),∩,∪,−, /0,M) eine BOOLEsche Algebra,die Potenzmengenalgebra von M. Eine Unteralgebra davon, definiertalso auf einer Teilmenge B ⊆ P(M), die /0 und M enthält und abgeschlossenist unter den Mengenoperationen ∩,∩,−, heißt Mengenalgebra.2. Jede endliche BOOLEschen Algebra ist isomorph zu einer Potenzmengenalgebraund hat damit 2 n Elemente für eine natürliche Zahl n. Die Menge{x ⊆ N | x endlich oder N − x endlich} mit den üblichen mengentheoretischenOperationen ist eine abzählbare BOOLEsche Algebra, die aber nichtzu einer Potenzmengenalgebra isomorph sein kann.3. Es gibt zahlreiche Beispiele BOOLEscher Algebren, die keine Mengenalgebrensind. Diese lassen sich am besten mit topologischen Hilfsmittelnbeschreiben; aber es gibt auch natürliche Beispiele aus der Logik:Die LINDENBAUM-Algebra einer Theorie TFür eine Theorie T und eine Aussage σ in der Sprache L dieser Theorie kann maneinen Folgerungsbegriff erklären: T ⊢ σ bedeute: σ folgt aus (den Axiomen von)T. Damit erhält man eine Äqivalenzrelationϕ ∼ T ψ :⇐⇒ T ⊢ ϕ ↔ ψ,L(T) := {[σ] T | σ L-Satz}sei die Menge der zugehörigen Äquivalenzklassen. Den aussagenlogischen Operationenentsprechen dann Operationen auf L(T):[ϕ] T ∧ [ψ] T := [ϕ ∧ ψ] T