Skriptum zur Vorlesung Mengenlehre

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18.2. GROSSE UNENDLICHE ZAHLEN 163Grahams Zahl ist so groß, daß sie am besten mit Knuths Pfeil-Schreibweiseausgedrückt werden kann:m ↑ n = } m · m {{ · ... · m}n−malm ↑↑ n = m ↑ m ↑ ... ↑ m} {{ }n−malm ↑↑↑ n = m ↑↑ m ↑↑ ... ↑↑ m} {{ }n−mal.Hierbei ist zu beachten, daß der Potenzoperator nicht assoziativ ist. Der klammerfreinotierte Ausdruck ist deshalb mehrdeutig; in diesem Fall ist er von rechtszu klammern, d. h. beispielsweise ist m ↑ m ↑ m = m ↑ (m ↑ m) zu lesen. Diese Abarbeitungsreihenfolgeist auch gerade diejenige, bei der die größten Endergebnissehervorgebracht werden. Ausgestattet mit dieser Notation kann man eine Folgebilden, die durch die folgenden Regeln rekursiv definiert ist:G 0 = 4G n+1 = 3↑↑↑ ... ↑3} {{ }G n −malGrahams Zahl ist nun definiert als G = G 64 . Zur besseren Veranschaulichung,wie extrem groß die Grahams Zahl ist, werden hier die Ergebnisse der erstenSchritte angegeben:3 ↑ 3 = 273 ↑↑ 3 = 7.625.597.484.987Bereits G 1 läßt sich nicht mehr vernünftig in der üblichen Exponentialdarstellungausdrücken. Trotzdem kann man die letzten Stellen von Grahams Zahl mitelementarer Zahlentheorie bestimmen: die letzten 10 Stellen sind 2464195387.18.2 Große unendliche ZahlenGegenüber den natürlichen Zahlen ist ω als erste unendliche Zahl natürlich “sehrgroß”. Als neuen Ansatz könnte man versuchen:
18.2. GROSSE UNENDLICHE ZAHLEN 164κ ist groß ⇐⇒ κ hat hinsichtlich kleinerer Zahlen ähnliche Eigenschaften wieω gegenüber den natürlichen Zahlen.So gelangt man schnell <strong>zur</strong> Forderung, daß eine “große” Zahl eine Limeszahl,regulär, sogar unerreichbar sein soll und weitere Eigenschaften erfüllen soll, diewir später einführen werden (die RAMSEY-Eigenschaft, meßbar . . . ).Ein weiterer Ansatz geht von der Überlegung aus, daß On die größte Ordinal-(und Kardinal-) Zahl wäre, wenn es nur eine Menge wäre:κ ist groß ⇐⇒ κ hat ähnliche Eigenschaften wie On.Mit geeignet gewählten Eigenschaften gelangt man schnell zu den unerreichbarenKardinalzahlen oder - je nach Präzisierung - zu Widersprüchen! Mit Hilfe despartiellen Reflexionsprinzips erhalten für jede Aussage σ der ZF-Sprache:σ On → ∀α∃κ(α < κ ∧ σ κ ).Aus dem Beweis des Hierarchiesatzes 15.3.1 ergibt sich, daß es sogar sehrviele δ gibt, die eine Eigenschaft σ aller Ordinalzahlen reflektieren, und zwar soviele, daß jede Normalfunktion einen Fixpunkt besitzt, welcher die Eigenschaft σreflektiert.DefinitionLimespunkte von A : A ′ := {α > 0 | α = ∪(A ∩ α)},A ⊆ On unbeschränkt : ↔ ⋃ A = On,A ⊆ On abgeschlossen : ↔ ∀x ⊆ A(x ≠ /0 → ⋃ x ∈ A),A ⊆ On club : ↔ A abgeschlossen und unbeschränkt.(club steht als Abkürzung für closed unbounded). Offensichtlich gilt:LemmaEs sei A ⊆ On.(i) A ′ ist stets abgeschlossen; falls A unbeschränkt ist, so ist A ′ club.(ii) N ft(F) → W(F) club, und umgekehrt:(iii) Ist A club, so A=W(F) für eine Normalfunktion F (nämlich die monotoneAufzählung von A).□
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INHALTSVERZEICHNISiiInhaltsverzeich
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INHALTSVERZEICHNISivIV Die Größe
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INHALTSVERZEICHNISvi18.3 Ideale und
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2VorbemerkungDie Mengenlehre hat f
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4Kapitel 1Ordnungen und Wohlordnung
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1.1. ORDNUNGEN 6aus einer irreflexi
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1.2. DEFINITION DER ORDINALZAHLEN 8
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1.4. DIE ORDNUNG DER ORDINALZAHLEN
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12Kapitel 2Mengen und Klassen2.1 Di
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2.2. AUSWEGE AUS DEN ANTINOMIEN 14o
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2.3. DIE MENGENTHEORETISCHE SPRACHE
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2.5. ÜBERBLICK ÜBER VERSCHIEDENE
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20Kapitel 3Extensionalität und Aus
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3.2. EIGENSCHAFTEN DER INKLUSION 22
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24Kapitel 4Relationen und Funktione
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4.2. RELATIONEN 264.2 RelationenMit
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4.3. FUNKTIONEN 28In diesem Fall gi
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5.1. VEREINIGUNG, DURCHSCHNITT UND
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5.2. POTENZMENGE UND ALLGEMEINES PR
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5.3. ÜBERBLICK ÜBER DIE ZF-AXIOME
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38Kapitel 6Induktion und RekursionW
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6.2. MINIMUMSPRINZIP 406.2 Minimums
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6.4. REKURSIONSSATZ FÜR WOHLORDNUN
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6.6. REPRÄSENTATIONSSATZ FÜR WOHL
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6.7. MINIMUMSPRINZIP, TRANSFINITE I
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7.2. MONOTONIE-GESETZE 48Bevor wir
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7.2. MONOTONIE-GESETZE 50Beweis: Ze
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7.3. VERALLGEMEINERTE STETIGKEIT VO
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7.4. FIXPUNKTE VON NORMALFUNKTIONEN
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7.4. FIXPUNKTE VON NORMALFUNKTIONEN
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8.1. MENGENINDUKTION 58V α sind ni
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8.3. ANWENDUNGEN DES RANGES 62Refle
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64Kapitel 9Die Rolle des Unendlichk
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9.1. DIE PEANO-THEORIE PA 66Modelle
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9.3. ANWENDUNGEN DER NUMERISCHEN RE
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70Teil IIIMengen auswählen
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10.1. MENGENTHEORETISCH ÄQUIVALENT
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10.4. ANWENDUNGEN DES AUSWAHLAXIOMS
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82Teil IVDie Größe der Mengen
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11.1. ENDLICHE UND ABZÄHLBARE MENG
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11.3. SATZ VON CANTOR-SCHRÖDER-BER
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11.8. OPERATIONEN AUF DEN KARDINALZ
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110Kapitel 13Potenzen von Kardinalz
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