Skriptum zur Vorlesung Mengenlehre

6.7. MINIMUMSPRINZIP, TRANSFINITE INDUKTION UND REKURSION 46zu jeder Menge von Ordinalzahlen auch das Supremum wieder eine Ordinalzahlist: Es gilt(∗)0 = /0 ∈ On ∧ ∀α(α ∈ On → α + 1 ∈ On) ∧ ∀x(x ⊆ On → ∪x ∈ On),tatsächlich ist On die kleinste Klasse mit dieser Abgeschlossenheitsbedingung.Da die Ordinalzahlen durch die ∈ -Beziehung wohlgeordnet sind, gelten hierfürdie Induktions- und Rekursionstheoreme des vorigen Abschnitts; zusätzlichkann man ihnen aber wegen (*) auch eine zweite Fassung geben, die zeigt, wiediese Prinzipien die entsprechenden Sätze über die natürlichen Zahlen verallgemeinern:6.7 Minimumsprinzip, transfinite Induktion und Rekursion(i) /0 ≠ A ⊆ On → ∃α ∈ A A ∩ α = /0 Minimumsprinzip(ii) ∃α ϕ(α) → ∃α(ϕ(α) ∧ ∀ξ < α¬ϕ(ξ ))(iii) ∀α(α ⊆ A → α ∈ A) → On ⊆ A Induktionsprinzip(iv) ϕ(0) ∧ ∀α((ϕ(α) → ϕ(α + 1))∧∧∀λ(Lim(λ) ∧ ∀ξ < λ ϕ(ξ ) → ϕ(λ)) → ∀α ϕ(α)Dabei haben wir in (i) und (iii) die Klassen-, in (ii) und (iv) die Schema-Schreibweisebenutzt; (i) - (iv) sind untereinander äquivalent. In (v) beschränken wir unsauf den Fall, welcher der Induktion der Form (iv) entspricht:(v) Transfinite Rekursion: Sind G,H : On ×V −→ V Funktionen, a eine Menge,so existiert genau eine Funktion F : On −→ V mitF(0) = aF(α + 1) = G(α,F(α))F(λ) = H(λ,{F(ξ ) | ξ < λ}) für Lim(λ).(Analog für mehrstellige Funktionen mit Parametern.)□