Skriptum zur Vorlesung Mengenlehre

14.4. PARTIELLE REFLEXIONSPRINZIPIEN 13014.4 Partielle ReflexionsprinzipienWir gehen aus von der folgenden Basistheorie S 0 mit den AxiomenExtensionalitätsaxiom (Ext) ∀x(x ∈ a ↔ x ∈ b) → a = b∆ 0 -Aussonderung (∆ 0 -AusS) ∃y∀z(z ∈ y ↔ x ∈ a ∧ ϕ(x))(ϕ ∆ 0 -Formel)Fundierungsaxiom (Fund) a ≠ /0 → ∃x x ∩ a = /0Hinzunehmen werden wir die folgenden partiellen ReflexionsprinzipienPR trans ϕ(a) → ∃u[trans(u) ∧ a ∈ u ∧ ϕ u (a)] bzw.PR strans ϕ(a) → ∃u[strans(u) ∧ a ∈ u ∧ ϕ u (a)],wobeistrans(a) :↔ trans(a) ∧ ∀y(y ⊆ x ∈ a → y ∈ a)stark transitiv.Diese Axiome besagen, daß jede Eigenschaft, die im Bereich aller Mengengilt, auch im Bereich einer geeigneten Menge gilt. Es seienT 1 := S 0 + PR trans ,T 2 := S 0 + PR stransdie so entstehenden Theorien.Satz(i) In T 1 sind die Axiome Null,Paar,Sum,Un,FundS beweisbar,(ii) in T 2 gilt zusätzlich das Potenzmengenaxiom Pot.Beweis: Das Nullmengenaxiom folgt aus dem ∆ 0 -AusS, für das Paarmengenaxiomwähle in PR trans die Formelϕ(a,b) :↔ a = a ∧ b = b,woraus die Existenz einer Menge u mit a,b ∈ u folgt. {a,b} ist dann also eineMenge nach dem ∆ 0 -AusS. Ebenso liefert PR trans für jede Menge a eine transitiveMenge u mit a ∈ u, also auch ⋃ a ⊆ u, und wir brauchen nur noch ∆ 0 -AusSanzuwenden, um das Summenaxiom zu erhalten.