Skriptum zur Vorlesung Mengenlehre

83Kapitel 11Mächtigkeiten und KardinalzahlenGrundlegend für die Theorie der Kardinalzahlen ist der Begriff der Mächtigkeiteiner Menge. Zunächst definieren wir, wann zwei Mengen gleichmächtig sind:a ∼ b :↔ ∃ f ( f : a ←→ b)gleichmächtig11.1 Endliche und abzählbare MengenEs gibt verschiedene Möglichkeiten, den Begriff des Endlichen zu erfassen; daman hierbei auch das Unendliche definiert, ist der Begriff keineswegs trivial, wassich auch darin zeigt, daß die verschiedenen Definitionen oft erst mit Hilfe desAuswahlaxioms als äquivalent nachgewiesen werden können (s. (iv) des folgendenSatzes).1. Der übliche Begriff der endlichen Menge greift auf die natürlichen Zahlenzurück:Eine Menge a ist endlich gdw ihre Elemente mit Hilfe der natürlichen Zahlenvon 0 bis n − 1 für ein n abgezählt werden können. Da nach unserer Festlegung{0,1,...,n − 1} = n ist, so haben wir eine besonders einfache Definition:a endlich : ↔ ∃n < ω (a ∼ n),a unendlich : ↔ ¬ a endlich.Ist a endlich, so ist die natürliche Zahl n mit a ∼ n (die man durch Abzählenbestimmt) eindeutig festgelegt und gibt die Anzahl der Elemente von a an - fürunendliche Mengen gilt dies aber nicht mehr!