Skriptum zur Vorlesung Mengenlehre

11.9. SATZ VON HESSENBERG 96Für α = ω ist offenbar F[ω × ω] = ω und allgemein gilt für jedes α:F[ℵ α × ℵ α ] = ℵ α .Diese Aussage beweisen wir durch Induktion nach α:1. Fall: α = 0, also ℵ α = ω. Wäre die Behauptung falsch, so gäbe es nach (**)zwei natürliche Zahlen n,m mit ω = F(n,m). Für k = max(n,m)+1 erhielten wirdann jedoch ω = F(n,m) < F(0,k) = F[k × k], aber F[k × k] ist offenbar endlich,Widerspruch!2. Fall: α > 0, und wir nehmen wieder an F[ℵ α × ℵ α ] > ℵ α , wobei wir αminimal mit dieser Eigenschaft wählen. Wie im ersten Fall existieren dann Zahlenγ,δ < ℵ α mit F(γ,δ) = ℵ α . Wir setzen ρ = max(γ,δ) + 1, so daß ω ≤ ρ < ℵ α(da ℵ α als Ordinalzahl eine Limeszahl ist) und (γ,δ) < g (0,ρ). Somitℵ α = F(γ,δ) < g F(0,ρ) = F[ρ × ρ],insbesondere ℵ α ≤ |ρ ×ρ|. Wegen der Minimalität von α gilt nun aber |ρ ×ρ| =|ρ| < ℵ α , Widerspruch!□Den Satz von HESSENBERG können wir nun hieraus folgern: Für unendlichesκ gilt zunächst:κ ≤ κ ⊕ κ ≤ κ ⊙ κ = κ, also κ ⊕ κ = κ ⊙ κ = κ.Es seien nun κ,λ Kardinalzahlen und etwa κ ≤ λ, λ unendlich. Dann gilt alsoλ ≤ κ ⊕ λ ≤ λ ⊕ λ = λ, also κ ⊕ λ = λ, und ebensoλ ≤ κ ⊙ λ ≤ λ ⊙ λ = λ, also κ ⊙ λ = λ für κ,λ ≠ 0.Damit vereinfacht sich die Bestimmung der Kardinalzahl unendlicher Mengenin vielen Fällen, und in Verallgemeinerung des Falles abzählbarer Mengenerhalten wir:SatzFür /0 ≠ b ≼ a, a unendlich, gilt:(i) |a ∪ b| = |a × b| = |a|,(ii) |a