Skriptum zur Vorlesung Mengenlehre

4.3. FUNKTIONEN 274.3 FunktionenFunktionen identifizieren wir mit ihrem Graphen, d. h. eine Funktion ist eineRelation, die jedem Element ihres Vorbereiches (hier Definitionsbereich genannt)genau ein Element ihres Nachbereiches (hier Wertebereich genannt) zuordnet:Fkt(F) :↔ Rel(F) ∧ ∀x,y,z((x,y) ∈ F ∧ (x,z) ∈ F → y = z).In diesem Fall gibt es also zu jedem a ∈ D(F) genau ein b ∈ W(F), so daß (a,b) ∈F. Dieses b nennen wir wie üblich den Funktionswert von F an der Stelle a undbezeichnen ihn mit F(a):{b, falls Fkt(F) ∧ a ∈ D(F) ∧ (a,b) ∈ FF(a) =/0, sonst.Damit können wir auch die Klasse der F(x) mit einer Eigenschaft ϕ(x) bilden:und insbesondereF[A] := {F(x) | x ∈ A}F ↾ A := {(x,F(x)) | x ∈ A}{F(x) | ϕ(x)} := {y | ∃x(ϕ(x) ∧ y = F(x))}Bild von A unter FEinschränkung von F auf A (als Def.bereich).Oft findet man für Funktionen auch die folgende Bezeichnung unter Angabeihres Definitionsbereiches A und ihres Bildbereiches B:F : A −→ B :↔ Fkt(F) ∧ D(F) = A ∧W(F) ⊆ Bund definiert häufig die Funktion durch Angabe ihres Wertes F(a) für a ∈ A:F : A −→ Ba ↦→ F(a).Es ist dann F = {(a,F(a)) | a ∈ A}, wobei man dann auch oft F = (F a ) a∈A schreibtund von einer Familie spricht, insbesondere wenn der Definitionsbereich eine geordneteMenge (Indexmenge) ist.Ist F : A −→ B, also F eine Abbildung von A nach B, so ist der BildbereichB durch F nicht eindeutig bestimmt; er braucht nämlich den Wertebereich W(F)nur zu enthalten. Ist jedoch Bildbereich = Wertebereich, so heißt F surjektiv oderauf B:F : A ↠ B :↔ F : A −→ B ∧W(F) = B