Skriptum zur Vorlesung Mengenlehre

10.2. DER ZERMELOSCHE WOHLORDNUNGSSATZ 73Beweis: Ist r Wohlordnung auf a, so isomorph zur ∈-Beziehung auf einer Ordinalzahlα (nach 6.6 (i)), somit WO1 ⇒ WO2. Ist umgekehrt f : a ←→ α für eineOrdinalzahl α, so kann man auf a eine Wohlordnung r definieren durchxry ⇐⇒ f (x) ∈ f (y),wodurch die natürliche Wohlordnung auf α auf die Menge a übertragen wird.Also gilt auch WO2 ⇒ WO1.WO1 ⇒ AC: Ist eine Menge wohlgeordnet, so kann man aus ihren Elementeneine Auswahl treffen, indem man das kleinste Element (bezüglich der Wohlordnung)auswählt: Sei ∀x ∈ a x ≠ /0. Nach WO1 gibt es eine Wohlordnung < auf⋃ a. Damit kann man eine Auswahlfunktion f definieren durchf (x) = das kleinste (bzgl.