Skriptum zur Vorlesung Mengenlehre

12.5. DER SATZ VON CANTOR-BENDIXSON 103BemerkungIn der Deskriptiven Mengenlehre benutzt man statt der reellen Zahlen den• BAIREschen Raum N der Folgen natürlicher Zahlen f : ω → ω oder den• CANTORraum C der unendlichen Binärfolgen, jeweils mit der Produkttopologie.Dabei ist N homöomorph zum Raum der Irrationalzahlen (als Teilraum von R), Chomöomorph zum Unterraum, der durch das CANTORsche Diskontinuum gebildetwird. Diese - und viele weitere - Räume fallen unter den Begriff des PolnischenRaumes (ein separabler und vollständiger metrischer Raum). Der obige Beweiszeigt, daß sich der CANTORraum in jeden perfekten Polnischen Raum einbettenläßt; auch der folgende Satz von CANTOR-BENDIXSON gilt für beliebige PolnischeRäume.12.5 Der Satz von Cantor-BendixsonSatz über die Anzahl isolierter PunkteFür jede Menge M ⊆ R ist die Menge R = M −M ′ der isolierten Punkte abzählbar.Beweis: Da die Menge der Paare Q × Q der Paare rationaler Zahlen abzählbarist, gibt es auch eine Abzählung I 0 ,I 1 ... der nicht-leeren offenen Intervalle mitrationalen Endpunkten. Für jedes x ∈ R seif (x) = µn ∈ N (x ∈ I n ∧ I n ∩ M = {x}).Dann ist f : R ↣ ω, also ist R abzählbar.□Die Restmenge R kann jedoch wieder isolierte Punkte besitzen, nimmt mandie isolierten Punkte von R weg, so können jetzt wiederum isolierte Punkte übrigbleiben. Wir betrachten daher nach CANTOR die Folge der Ableitungen:DefinitionM ⊆ R sei eine Menge von reellen Zahlen. Die Folge der Ableitungen von Mwird durch transfinite Rekursion definiert:M 0 = M, M α+1 = (M α ) ′ , M λ = ⋂M ξ für Limeszahlen λ.ξ