Skriptum zur Vorlesung Mengenlehre

18.3. IDEALE UND FILTER 167Beispiele und Bemerkungen1. Der einfachste Filter auf a ≠ /0 ist die Menge {a}, {/0} ist das einfachsteIdeal.2. Für jedes /0 ≠ x ⊆ a ist < x >:= {z ⊆ a | x ⊆ z} ein Filter, der von x erzeugteHauptfilter. Dieser ist ein Ultrafilter genau dann, wenn x nur einElement besitzt. Interessanter sind Ultrafilter, die keine Hauptfilter sind, siewerden auch freie Ultrafilter genannt (während die Hauptultrafilter durchein Element fixiert sind).3. Hat a = {x,y} zwei Elemente x ≠ y, so gibt es auf a die Filter {a},{{x},a}und {{y},a}; die letzten beiden sind Hauptultrafilter, {a} ist zwar Hauptfilter,aber kein Ultrafilter. Allgemeiner ist auf einer endlichen Menge a jederFilter ein Hauptfilter (erzeugt vom Durchschnitt der endlich-vielen Elementedes Filters).4. Auf einer unendlichen Menge a ist{x ⊆ a | x endlich} ein Ideal mit{x ⊆ a | x co-endlich (d.h. a − x endlich)} als dualem Filterauf a, der kein Hauptfilter (und auch kein Ultrafilter) ist und welcher imFalle a = N FRÉCHET-Filter genannt wird. Ultrafilter, die den obigen Filtererweitern, können keine endlichen Mengen als Elemente enthalten und sindsomit freie Ultrafilter.5. Auf der Menge der reellen Zahlen ist die Menge{x ⊆ R | x hat Lebesgue-Maß 0}ein Ideal, welches kein Hauptideal ist.6. Es sei κ eine Kardinalzahl mit c f (κ) > ω. Dann ist{x ⊆ κ | ∃y ⊆ κ(y club ∧ y ⊆ x)}ein Filter, der club-Filter auf κ. Das duale Ideal besteht aus den Teilmengenvon κ, welche nicht stationär in κ sind.