Skriptum zur Vorlesung Mengenlehre

9.3. ANWENDUNGEN DER NUMERISCHEN REKURSION 68• umgekehrt kann man (nach W. ACKERMANN) in der Theorie PA endlicheMengen durch Zahlen kodieren und eine entsprechende ∈-Beziehung sodefinieren, daß hierfür die Axiome von ZF f in gelten.• In ZF ohne Unendlichkeitsaxiom (oder einer geeigneten Erweiterung vonPA zur Theorie 2. Stufe) kann man auch eine eingeschränkte Analysis betreiben;um aber etwa die Gesamtheit der reellen Zahlen zur Verfügung zuhaben, benötigt man das Unendlichkeitsaxiom.9.3 Anwendungen der numerischen RekursionAls Spezialfall des Rekursionstheorems für die natürlichen Zahlen erhalten wirdie Möglichkeit, Funktionen zu iterieren und damit Mengen zu erhalten, die untervorgegebenen Funktionen abgeschlossen sind:Satz über die Iteration und den Abschluß(i) Zu jeder Funktion F und jeder Menge a gibt es eine FunktionH : N ×V −→ V mitH(0,a) = a, H(n + 1,a) = F(H(n,a)).Wir nennen H auch die Iteration von F mit dem Anfangswert a undschreiben auch F n (a) für H(n,a).(ii) Zu jeder Funktion F und jeder Menge a gibt es eine Obermenge b von a, dieunter F abgeschlossen ist:∃y(a ⊆ y ∧ ∀x ∈ y F(x) ∈ y)Beweis von (ii): Zu gegebenem F und der Ausgangsmenge a definiere durch Rekursioneine Funktion G mit den EigenschaftenG(0) = a, G(n ′ ) = {F(x) | x ∈ G(n)} und setze b := ⋃G(n).Dann ist offensichtlich a ⊆ b ∧ ∀x ∈ b F(x) ∈ b, und zwar ist b die kleinste derartigeMenge, die Hülle oder der Abschluß von a unter der Abbildung F. □Für viele Anwendungen gut zu benutzen ist dasHüllenaxiom (HS)∃y(a ⊆ y ∧ ∀x ∈ y F(x) ∈ y).n∈ω