Skriptum zur Vorlesung Mengenlehre

19.1. DAS SCHUBFACHPRINZIP 176Eine Zerlegung [a] n = a 0 ˙∪... ˙∪a k in k+1 Teile kann man auch als eine Abbildungf : [a] n → {0,...,k} auffassen. Daher stellen die folgenden Pfeilrelationeneine Verallgemeinerung dar, wobei n < ω und α eine Kardinalzahl sei:κ −→ (α) n γ :↔ ∀ f ( f : [κ] n → γ→ ∃x ⊆ κ (|x| = α ∧ ∀u,v ∈ [x] n f (u) = f (v))),d. h. jede Zerlegung der n-elementigen Teilmengen von κ besitzt eine Teilmengex ⊆ κ von der Mächtigkeit α, so daß f auf den n-elementigen Teilmengenvon x konstant ist (d. h. daß alle n-elementigen Teilmengen von x in derselbenTeilmenge liegen). Eine derartige Menge x nennt man auch homogen (oder nichtunterscheidbar)für f . Beachte, daß die obige Relation erhalten bleibt, wenn mandie Zahlen auf der linken Seite vom Pfeil vergrößert bzw. die Werte auf der rechtenSeite verkleinert. Im wichtigsten Fall γ = 2 läßt man den unteren Index häufigweg.Der Satz von RAMSEY besagt mit dieser Bezeichnungsweise:ω −→ (ω) n m für alle n,m < ωZur Verallgemeinerung dieses Satzes definieren wir die Beth-Funktion durchℶ 0 (α) = α, ℶ β+1 = 2 ℶ β (α) , ℶ λ (α) = ⋃ξ ω; diese Zahlen sind (stark) unerreichbar, die Menge {λ < κ | λ unerreichbar}der kleineren unerreichbaren Zahlen ist stationär in κ, ebenso die Menge der kleinerenMAHLOschen Zahlen vom Grad < κ, usw. Zugleich haben diese Zahlenweitere interessante Charakterisierungen (schwach kompakt, Baum-Eigenschaft,Π 1 1 -unbeschreibbar)1 .10, § 21 s. z. B. DRAKE, F.R. Set Theory. An Introduction to Large Cardinals Amsterdam 1974, Ch.