Skriptum zur Vorlesung Mengenlehre

9.1. DIE PEANO-THEORIE PA 66Modelle, die nicht isomorph zum Standardmodell sind, heißen Nichtstandardmodelle.Im Rahmen der Mathematischen Logik zeigt man, daß die obige Theoriesehr viele (sowohl abzählbare wie auch überabzählbare) Nichtstandardmodellebesitzt. Im Rahmen der Mengenlehre dagegen kann man das InduktionsschemaIndS aber nicht nur für Aussagen der Sprache von PA, sondern für beliebige mengentheoretischeFormeln nachweisen, und es läßt sich in ZF zeigen, daß das Standardmodellbis auf Isomorphie das einzige dieser (mengentheoretisch erweiterten)Axiome ist (wobei man P3 − P6 nicht einmal benötigt):Kategorizität der mengentheoretischen PEANO-AxiomeDie Theorie PA (2) (PEANO-Axiome 2. Stufe) besitzt folgende Axiome:P1∀x e ≠ xP2 ∀x∀y(x ′ = y ′ → x = y)Ind (2) ∀X[0 ∈ X ∧ ∀x(x ∈ X → x ′ ∈ X) → ∀x x ∈ X]Die Kategorizität dieser Theorie besagt, daß es (bis auf Isomorphie) genau einModell gibt, d. h.:Jedes Modell von PA (2) ist isomorph zum Standardmodell (ω, ′ ,0).Beweis: Ind (2) ist ein Axiom, in welchem ∀X ein Quantor 2. Stufe ist, welcherin einem Modell (w,∗,e) ausdrückt: für alle Teilmengen von w . . . , d. h. diesesAxiom entspricht dem mengentheoretische Induktionsprinzip.Es sei nun also (w, ∗ ,e) ein Modell von PA (2) , d.h.(1) e ≠ x ∗ für alle x ∈ w,(2) x ∗ = y ∗ → x = y für alle x,y ∈ w,(3) e ∈ v ∧ ∀x(x ∈ v → x ∗ ∈ v) → w ⊆ v für alle Mengen v ⊆ w.Der gesuchte Isomorphismus ist eine Abbildung f : ω ←→ w mitf (0) = e ∧ ∀n ∈ ω f (n ′ ) = f (n) ∗ .Der Rekursionssatz für die natürlichen Zahlen liefert ein (sogar eindeutig bestimmtes)f mit dieser Eigenschaft; zu zeigen bleibt also nur noch die Bijektivität: