Skriptum zur Vorlesung Mengenlehre

6.6. REPRÄSENTATIONSSATZ FÜR WOHLORDNUNGEN 45Anwendung auf die OrdinalzahlenDie kleinste Ordinalzahl ist 0, und für jede Ordinalzahl α ist α + 1 ebenfalls eineOrdinalzahl, und zwar eine Nachfolgerzahl. Die restlichen Typen von Ordinalzahlensind Limeszahlen:Lemma0 := /0 NullN f (α) : ↔ ∃ξ α = ξ + 1NachfolgerzahlLim(λ) : ↔ λ ≠ 0 ∧ ¬N f (λ)Limeszahl↔ λ ≠ 0 ∧ ∀ξ < λ (ξ + 1 < λ)(i) α = 0 ∨ N f (α) ∨ Lim(α) (und es gilt genau einer der drei Fälle),(ii) Lim(λ) ↔ λ > 0 ∧ λ = ∪λ,(iii) trans(A) ∧ A ⊆ On → A ∈ On ∨ A = On,(iv) A ⊆ On → ∪A ∈ On ∨ ∪A = On.Beweis von (iii): Ist A transitiv, so ein E-Segment von On und nach Lemma (ii)aus 6.3 somit = On oder als echtes Segment von der Form A = {x | x < α} = αfür ein α.Zum Beweis von (iv) beachte man, daß für A ⊆ On gilt: ∪A ist transitiv (allgemeinerist die Vereinigung transitiver Mengen wieder transitiv), so daß man (iii)anwenden kann.□Beachte, daß (iii) eine Verallgemeinerung des Satzes aus 1.4 ist. (iv) besagt,daß das Supremum einer Klasse von Ordinalzahlen wieder eine Ordinalzahl istoder = On ist, und zwar gilt in (iii) und (iv) jeweils der 1. Fall, wenn A beschränktist (d. h. ∃α A ⊆ α), der 2. Fall, falls A unbeschränkt ist (also ∀α ∃ξ ≥ α ξ ∈ A).Die Existenz von Limeszahlen folgt erst aus dem Unendlichkeitsaxiom, unddamit werden wir uns im folgenden Abschnitt beschäftigen. Hier können wir dieExistenzfrage erst einmal offen lassen; falls es keine Limeszahl gibt, sind die Ordinalzahlengerade die natürlichen Zahlen, anderenfalls gehen sie darüber hinaus:Mit einer Limeszahl λ gibt es auch wieder die Nachfolgerzahlen λ + 1,λ + 2,...(die aber keine natürlichen Zahlen mehr sind) und dann wieder deren Limes, ...,usw. Somit führen die Ordinalzahlen über die natürlichen Zahlen hinaus, indem