Skriptum zur Vorlesung Mengenlehre

17.4. DAS KONDENSATIONSLEMMA 157Als nächstes zeigen wir die Injektivität von F, indem wir für jedes a ∈ A durchR-Induktion zeigen:∀x ∈ A(F(a) = F(x) → a = x).Sei also nach InduktionsvoraussetzungAus F(a) = F(b) folgt dann:∀z(zRa → ∀x ∈ A(F(z) = F(x) → z = x)).cRa → F(c) ∈ F(a) = F(b)→ F(c) = F(x) für ein xRb→ c = x nach Ind.vor., da cRa→cRb.Ganz analog erhalten wir cRb → cRa, also die gewünschte Aussage a = b wegender Extensionalität von R. Schließlich ergibt sich hieraus wie früher:F(a) ∈ F(b) → F(a) = F(c) für ein cRb→→a = c wegen der Injektivität von FaRb.Wählen wir als Aussage σ die endlich-vielen Axiome der Theorie T + V = Lvon 17.2, so erhalten wir mittels des Isomorphiesatzes von MOSTOWSKI dasKondensationslemmaEs gibt eine Aussage σ, die in allen Modellen der Form (L λ ,∈) mit Lim(λ),λ > ωgilt, so daß für jedes Modell (a,∈) von σ ein α existiert mit(a,∈) ∼ = (L α ,∈).Ist außerdem c ⊆ a ∧ trans(c), so läßt der Isomorphismus die Elemente von cinvariant, d. h. ist die Identität auf c.□□