Skriptum zur Vorlesung Mengenlehre

8.3. ANWENDUNGEN DES RANGES 63DefinitionR ist eine Äquivalenzrelation auf der Klasse A gdw. R ⊆ A × A undÄ1 ∀x ∈ A xRx reflexivÄ2 ∀x,y ∈ A (xRy → yRx) symmetrischÄ3 ∀x,y,z ∈ A (xRy ∧ yRz → xRz) transitivFür jedes a ∈ A sei [a] R := {x | xRa} die Äquivalenzklasse von a bzgl. R unda R := ([a] R ) min die entsprechende Teilmenge von minimalem Rang.Abstraktionsprinzip (FREGE 1884, RUSSELL 1907, SCOTT 1955)Es sei R Äquivalenzrelation auf A. Dann ist A die Vereinigung der paarweise disjunktenÄquivalenzklassen: A = ⋃ a∈A[a] R mita ∈ [a] R[a] R ≠ [b] R → [a] R ∩ [b] R = /0[a] R = [b] R ↔ aRb.Die a R sind immer Mengen, und für sie gilt immerhin noch:a R ≠ /0,a R = b R ↔ aRb,so daß sie als Repräsentantenmengen für die Äquivalenzklassen gewählt werdenkönnen.