Skriptum zur Vorlesung Mengenlehre

18.5. MESSBARE ZAHLEN 174• ist κ reell-wertig meßbar, so ist κ meßbar oder κ ≤ 2 ℵ 0(ist also κ reell-wertig meßbar, aber nicht meßbar, so muß 2 ℵ 0 sehr großsein).Die kleinste unerreichbare Zahl ist noch nicht meßbar, tatsächlich liegen untereiner unerreichbaren Zahl κ κ-viele kleinere unerreichbare Zahlen, und währenddie Existenz einer unerreichbaren Zahl noch mit der Annahme V = L verträglichist, widerspricht die Existenz einer meßbaren Zahl diesem Axiom, hat dafür aberweitere Konsequenzen für die projektive Hierarchie:SatzIn der Theorie ZFC + MC : “es existiert eine meßbare Kardinalzahl” ist beweisbar:• Σ 1 2-Mengen haben die Perfekte-Mengen-Eigenschaft (P) und erfüllen damitauch die Kontinuumshypothese,• Σ 1 2 - und Π1 2-Mengen haben die BAIRE-Eigenschaft und sind LEBESGUEmeßbar.Ist κ eine RAMSEY-Zahl, also κ → κ 2 2 , so gilt das MAHLOsche Prinzip für V κ(also unterhalb von κ): κ ist eine MAHLOsche Zahl vom Grad κ, es gibt unterhalbvon κ unbeschränkt-viele MAHLOsche Zahlen α vom Grad α, . . .