Skriptum zur Vorlesung Mengenlehre

13.6. DIE WICHTIGSTEN EIGENSCHAFTEN DER POTENZ 120voraussetzt, stimmen die schwach unerreichbaren mit den (stark) unerreichbarenZahlen überein.• Für ein unerreichbares κ > ω muß gelten:κ = ℵ κ = D(ℵ)(κ) = DD(ℵ)(κ) = ...,d. h. κ ist Fixpunkt der ℵ-Funktion, Fixpunkt der Ableitung der ℵ-Funktion,Fixpunkt der Ableitung der Ableitung der ℵ-Funktion . . .Falls die Mengenlehre ZF widerspruchsfrei ist, kann man in ZFC die Existenzunerreichbarer Zahlen > ℵ 0 nicht beweisen, denn für ein derartiges κist die Menge V κ (mit der gewöhnlichen ∈-Beziehung) ein Modell von ZFC.Wir fassen zusammen:13.6 Die wichtigsten Eigenschaften der PotenzFür Kardinalzahlen κ,λ ≥ ω gelten die folgenden Beziehungen:(i) 2 κ > κ (CANTOR), sogar:(ii) c f (2 κ ) > κ und allgemeiner:(iii) c f (λ κ ) > κ und(iv) κ c f (κ) > κ.Beweis von (ii): Annahme: es gibt einf : δ → 2 κ mit δ ≤ κ ∧ 2 κ = ⋃η