Skriptum zur Vorlesung Mengenlehre

17.4. DAS KONDENSATIONSLEMMA 156SatzR sei eine fundierte Relation auf A. Dann ist R ∗ eine transitive Erweiterung vonR, die ebenfalls fundiert ist. □Mit Hilfe von R ∗ kann man nun wie früher zeigen, daß für fundierte RelationenR das Prinzip (F1) sich verallgemeinern läßt zum Minimumsprinzip fürnicht-leere Teilklassen von A, einem entsprechenden Induktionsprinzip sowie einemRekursionssatz. Um auch ein Gegenstück zum früheren Kontraktionslemma6.5 zu erhalten, benötigen wir noch den Begriff der extensionalen Relation:R extensional :↔ ∀x,y ∈ A[∀z ∈ A(zRx ↔ zRy) → x = y].Daß R extensional ist, bedeutet also gerade, daß das Extensionalitätsaxiom fürdie Relation R auf A gilt. Dagegen ist die Fundiertheit von R eine echt stärkere Bedingungals die Gültigkeit des Fundierungsaxioms für die Struktur (A,R), denn eskönnte durchaus sein, daß es in A keine unendlich-absteigende R-Folge gibt, dafüraber außerhalb von A. Andererseits ist die ∈-Relation fundiert aufgrund des Fundierungsaxiomsund bleibt fundiert, wenn man sie auf eine Klasse A einschränkt.Somit ist die ∈-Beziehung auf einer transitiven Klasse A ein Beispiel einer fundiertenund extensionalen Relation und zudem im wesentlichen das einzige:Isomorphiesatz von MostowskiR sei eine fundierte und extensionale Relation auf A. Dann existiert genau eineAbbildung F und eine transitive Klasse B, so daß:F ist ein Isomorphismus: (A,R) ∼ = (B,∈), d.h.F : A ←→ B mitaRb ↔ F(a) ∈ F(b) für alle a,b ∈ A.Beweis: Falls ein solches F mit transitivem B = W(F) existiert, muß wie frühergelten:(∗) ∀x ∈ A F(x) = {F(y) | yRx},und damit haben wir die Eindeutigkeit. Zum Beweis der Existenz definieren wir Fdurch (*) mittels R-Rekursion und setzen B := W(F). Offenbar gilt dann trans(B)undF : A ↠ B ∧ ∀x,y ∈ A(xRy → F(x) ∈ F(y)).